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ANALISI MATEMATICA 1 Area dell’Ingegneria dell’Informazione Appello del 9.07.2018 TEMA 1 Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x) = log ⏐⏐2− 3e3x⏐⏐. i) Si determini il dominio D e si studi il segno di f; ii) si determininio i limiti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; iii) si calcoli la derivata e si studi la monotonia dif, determinandone gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; non ` e richiesta la derivata seconda; iv) si disegni un grafico qualitativo di f. Svolgimento. i) Il dominio di f ` e dato dalla condizione 3e3x̸= 2, cio` e D ={x∈ R :x̸= log 2 3 3 }. Il segno dif ` e positivo se e solo se|2−3e3x|> 1. Elevando al quadrato si ottiene la disequazione equivalente 9e6x− 12e3x + 3> 0. Ponendoe3x =y e dividendo per 3, si ottiene la disequazione 3y2−4y+1 > 0, che ha per soluzioniy <1/3, y >1. Perci` of(x)≥ 0 se e solo se x≤− log 3 3 oppure x≥ 0. In alternativa: se 2− 3e3x≥ 0, si ha: |2− 3e3x|> 1 ⇐⇒ 2− 3e3x> 1 ⇐⇒ e3x< 1 3 ⇐⇒ x< 1 3 log(1 3) =−1 3 log 3. Se invece 2− 3e3x< 0: |2− 3e3x|> 1 ⇐⇒ 3e3x− 2> 1 ⇐⇒ e3x> 1 ⇐⇒ x> 1 3 log(1) = 0. Perci` of(x)≥ 0 se e solo se x≤− log 3 3 oppure x≥ 0. ii) Si ha lim x→−∞ f(x) = lim x→−∞ log ( 2− 3e3x) = log 2, perch´ e limx→−∞e3x = 0, quindi la retta y = log 2 ` e un asintoto orizzontale. Inoltre lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ log ( 3e3x− 2 ) = +∞, e lim x→+∞ f(x) x = lim x→+∞ log ( 3e3x− 2 ) x = lim x→+∞ f(x) x = lim x→+∞ 3x + log ( 3− 2e−3x) x = 3, lim x→+∞ f(x)− 3x = lim x→+∞ log ( 3− 2e−3x) = log 3. 1 Quindi la retta y = 3x + log 3 ` e asintoto obliquo perx→ +∞. Infine, lim x→ log 2 3 3 f(x) = lim y→0+ logy =−∞, perci` ox = log 2 3 3 ` e un asintoto verticale. (iii) Le regole di derivazione possono essere applicate in tutto D, perch´ e il punto nel quale l’argomento del modulo si annulla non appartiene al…