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Politecnico di Milano – Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 T erzo appello – 9 Settembre 2013 Cognome: Compito A Nome: Matricola: Es. 1 : 6 punti Es. 2 : 8 punti Es. 3 : 6 punti Es. 4 : 10 punti T otale 1. Rappresentare sul piano di Gauss il luogo dei numeri complessi z∈ C tali che |eiz2+1|< 1. 2. Si consideri la curva γ :    x = sint y = cost z = lnt t∈ [3, 8]. Verificare che la curva ` e regolare e calcolare la sua lunghezza. (Nel calcolo della lunghezza della curva, si consiglia di effettuare la sostituzione u = √ 1 +t2 ). 3. Risolvere il problema di Cauchy    (x2 + 1)y′ = x y y(0) =−1 e stabilire il pi` u ampio intervallo in cui ` e definita la soluzione. 4. Si consideri la funzione definita da f(x) = x lnx lnx− 3. (a) Determinare il dominio D di f . (b) Calcolare i limiti ai bordi di D e determinare gli eventuali asintoti di f . (c) Calcolare la derivata prima f . (d) Determinare gli eventuali punti di massimo o minimo di f , specificando se assoluti o relativi. Soluzioni 1. Posto z =x + iy , con x,y∈ R , si ha |eiz2+1| =|ei(x+iy)2+1| =|ei(x2−y2)−2xy+1| = ⏐⏐e−2xy+1( cos(x2−y2) +i sin(x2−y2) )⏐⏐ = e−2xy+1. Pertanto, si ha |eiz2+1|< 1 ⇐⇒ −2xy + 1< 0 ⇐⇒ xy >1 2. Dunque, se Γ ` e l’iperbole di equazione xy = 1/2 , il luogo cercato ` e formato dai punti del primo quadrante strettamente al di sopra del ramo di Γ e dai punti del terzo quadrante strettamente al di sotto del ramo di Γ , come si vede nella seguente figura y x 2. Sia f(t) = (sint, cost, lnt) . Allora, si ha f′(t) = (cost,− sint, 1/t) e ||f′(t)|| = √ 1 + 1 t2 = √ 1 +t2 |t| = √ 1 +t2 t ̸= 0 per ogni t∈ [3, 8]. Quindi, la curva γ ` e regolare. La sua lunghezza ` e L = ∫ γ ds = ∫ 8 3 ||f′(t)|| dt = ∫ 8 3 √ 1 +t2 t dt. Con la sostituzione u = √ 1 +t2 , si ha t2 =u2− 1 e quindi t dt =u du . Pertanto,…