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Analisi e Geometria 2 Docente: 9 settembre 2015 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giusti cata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. a) Data la matrice A = [ k2 k k 1 ] ; determinare, se possibile, una matrice ortogonale che diagonalizzi A . b) Trovare l'integrale generale del sistema di equazioni differenziali { x′ = k2x ky y′ = kx + y soluzione: a) A e reale e simmetrica, quindi ortogonalmente diagonalizzabile. Gli autovalori sono 1;2 = 0 ; 1 + k2 , con autospazi rispettivamente generati dai vettori (tra loro ortogonali perch e relativi ad autovalori distinti di una matrice simmetrica): v1 = [1 k ] v2 = [ k 1 ] : Una matrice ortogonale che diagonalizza A eP = 1p 1 + k2 [ 1 k k 1 ] b) Il sistema ha soluzioni del tipo eth se h e autovettore associato all'autovalore della matrice di coefficienti. Gli autovalori della matrice dei coefficienti sono 0 e 1 + k2 , con autovettori rispettivamente [1 k ] e [ k 1 ] . La soluzione generale risulta [x(t) y(t) ] = c1 [1 k ] + c2e(1+k2)t [ k 1 ] : 2. Sia f (x) la funzione 2 -periodica che vale f (x) = x(jxj ) se x . a) Disegnare il gra co di f nell'intervallo [ 2; 2] ; b) scrivere la serie di Fourier di f ; c) stabilire per quali valori di x tale serie di Fourie e convergente e a cosa converge. soluzione: a) Nell'intervallo [0 ; ] il gra co di f e quello di una parabola con la concavit a verso il basso che interseca l'asse- x in 0 e in . Il gra co di f nell'intervallo [ ; 0] e il simmetrico rispetto all'origine del gra co di f in [0 ; ] . Il gra co di f…
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