09 Foglio di esercizi

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Politecnico di Milano – a.a. 2022/23 Corso di Laurea in Ingegnaria Matematica Meccanica Razionale e dei Continui Docente: prof. Michele Correggi Esercitatore: dott. Michele F antechi Foglio di Esercizi 9 Equazioni cardinali della dinamica e conservazione dell’energia 1. Si consideri il pendolo matematico, ovvero un punto materiale di massa m > 0 attaccato ad una sbarra priva di massa lunga ℓ > 0, incernierata nell’origine e libera di ruotare in un piano verticale ˆ ı, ˆȷ in assenza di attrito e in presenza di forza peso. Usando come coordinata generalizzata l’angolo ϑ ∈ [−π, π) formato dalla sbarra con la verticale (porzione negativa dell’asse ˆȷ) misurato in senso antiorario, 1..1 si scrivano le equazioni cardinali della dinamica e se ne deduca un’equazione pura; 1..2 si trovi un integrale primo del moto; 1..3 si determini la reazione vincolare nell’origine, in fuzione di ϑ(t), ˙ϑ(t) e ¨ϑ(t); 1..4 assumendo che il moto del pendolo si svolga per angoli |ϑ| ≪ 1 piccoli, tali da poter approssimare sin ϑ ≃ ϑ e cos ϑ ≃ 1, si risolvano le equazioni del moto per dati iniziali ϑ(0) = ϑ0 ≪ 1, ˙ϑ(0) = 0. 2. Si consideri l’Esercizio 1 dell’Esercitazione 2. Assumendo che il sistema di muova in un piano verticale in presenza di forza peso ⃗ g= −gˆȷ e che le sbarre abbiano stessa massa m, ed usando come coordinate gli angoli φ e ϑ 2..1 si trovi l’energia cinetica del sistema; 2..2 si trovi il potenziale del sistema; 2..3 si scrivano le equazioni cardinali della dinamica e se ne deduca un’equazione pura; 2..4 si trovi un integrale primo del moto; 2..5 si determini la reazione vincolare nell’origine al variare di t ∈ R. 3. Si consideri l’Esercizio 2 dell’Esercitazione 5: 3..1 si scrivano le equazioni cardinali della dinamica e se ne deduca un’equazione pura; 3..2 si trovi un…