10 02 2015

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Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano – Ingegneria informatica – Appello 10 F ebbraio 2015 Cognome: Nome: Matricola: T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Dato il parametro reale h, consideriamo il seguente sistema lineare:    2x +hy + (h− 1)z = 1 x +hy−z = 0 x−hy + (h + 2)z = 2 . 1. Discutere ed ove possibile risolvere il sistema. 2. Interpretare geometricamente i risultati. 3. Indicare un valore di h per cui le equazioni del sistema rappresentino tre piani appartenenti ad un fascio. Determinare quindi i parametri direttori della retta sostegno del fascio. 2. Dato il parametro reale h, consideriamo le seguenti matrici: Ah =   1 2 0 h + 1 1 0 0 0 2  , B =   1 0 0 0 1 0 0 0 2  . 1. Trovare, se esistono, i valori di h per i quali le due matrici sono simili. 2. Stabilire se esistono valori di h per cui Ah ` e ortogonalmente diagonalizzabile. 3. Per i valori di h di cui al punto precedente individuare una matrice ortogonale Q che diago- nalizza Ah e la corrispondente matrice diagonale D. 3. Nel riferimento ortonormale BO, si consideri la conica C|BO :x2 + 4xy + 4y2− 10 √ 5x = 0. 1. Riconoscere la conica. 2. Scrivere C in forma canonica determinando l’opportuno cambiamento di coordinate. 3. Trovare la direzione dell’asse o degli assi di simmetria di C. Soluzioni 1. 1. Attraverso il metodo di eliminazione di Gauss possiamo ridurre a scala la matrice orlata (A|b) associata al sistema lineare: (A|b) =   2 h h − 1 1 1 h −1 0 1 −h h + 2 2  →   1 h −1 0 0 −h h + 1 1 0 −2h h + 3 2  → →   1 h −1 0 0 h −h− 1 −1 0 0 −h + 1 0  . Se h = 1 vale r(A) = r(A|b) = 2, quindi esistono infinite soluzioni…