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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte B Docente: 10 giugno 2024 Cognome: Nome: Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. ♡ 1 di 3 ♡ Esercizio 1. Si consideri la forma quadratica: q(x, y, z) = −x2−y2+4z2+6xy+4xz + 4yz. 1. Si scriva la matrice simmetrica A associata alla forma quadratica q. 2. Si determini la decomposizione spettrale della matrice A. 3. Si calcolino il valore minimo m e il valore massimo M della funzione q ristretta alla sfera dei versori S2 =  v ∈ R3 ∥v∥ = 1 . 4. Si determinino due versori vm, vM ∈ S2 tali che q(vm) = m e q(vM) = M. ♡ 2 di 3 ♡ Esercizio 2. Si consideri l’applicazione lineare L : R[t]⩽3 → R[t]⩽3 definita da L(1 + t) = α t, L (t) = α t, L(1 + t2) = 2 − α t2, L (−1 + t3) = 2 − 2t2 − (α − 2)t3, dove α ` e un parametro reale. (i) Si scriva la matrice rappresentativa di L rispetto alla base canonica  1, t, t2, t3 . (ii) Si calcolino la dimensione del nucleo di L e il rango di L al variare di α ∈ R. (iii) Si determini per quali valori di α ∈ R il rango di L2 = L ◦ L ` e strettamente pi` u piccolo del rango diL. ♡ 3 di 3 ♡ Esercizio 3. Data la matrice A =   1 3 3 0 1 2 − 5 14 0 − 5 14 1 2   1. si determinino una matrice invertibile S e una matrice diagonale D tali che S−1AS = D. 2. si calcoli S−1. 3. si calcoli lim n→+∞ An. ♡ 4 di 3 ♡ Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Algebra Lineare e Geometria MTM – Parte B Docente: 10 giugno 2024 Cognome: Nome: Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta…