10 07 2015

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Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano – Ingegneria informatica – Appello 10 Luglio 2015 Cognome: Nome: Matricola: T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vann o svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e sul retro. I fogli di brutta non d evono essere consegnati. 1. Sia A =   1 k 0 1 1 0 k − 1 0 k + 1   . 1. Determinare per quali valori del parametro k la matrice A ` e diagonalizzabile su R. 2. Esistono valori di k per cui A ` e ortogonalmente diagonalizzabile? In caso affermativo trovare una matrice Q ortogonale che diagonalizza A. 2. Data la matrice G =   1 0 1 3 0 1 3 0 1 3 0 1 5   , definiamo su R3 il prodotto scalare ⟨v1, v2⟩ = v1T ·G ·v2. 1. Trovare una base ortonormale di R3. 2. Verificare che G ´ e la matrice di Gram del prodotto scalare in R2[x] definito da ⟨P (x), Q(x)⟩ = 1 2 ∫ 1 −1 P (x)Q(x)dx, rispetto alla base {1, x, x2}. 3. Trovare una base ortonormale di R2[x] rispetto al prodotto scalare del punto 2. 3. Fissato un sistema di riferimento ortonormale BO nello spazio, siano Q|BO =   1 0 0   , Π|BO : x − y + 1 = 0 . 1. Trovare il luogo S dei punti P che soddisfano d(P, Π) = 1 2 d(P, Q). 2. Classificare e trovare una forma canonica di S. 3. Trovare la rototraslazione del sistema di riferimento necessar ia a porre S in forma canonica. 4. Siano b1 =   1 2 0   , b2 =   1 0 1   , b3 =   0 1 1   e sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare tale che f (b1) = b1 − 2b2 − b3, f (b2) = 2 b1 + 3b2, f (b3) = 3 b1 + b2 − b3. 1. Dimostrare che B = {b1, b2, b3} ´ e una base di R3 e scrivere la matrice che rappresenta l’applicazione rispetto a B. 2. Si trovi una base di ker( f ) e Im( f ). 3. Trovare le controimmagini rispetto a f del vettore v = b1 + 5b2 + b3. Soluzioni 1. (a) Il polinomio caratteristico di A…