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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Analisi e Geometria 1 Terzo appello 10 Settembre 2012 Compito A Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.1: 6 punti; Es.2: 10 punti; Es.3: 7 punti; Es.4: 7 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a , sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. (a) Calcolare nel campo complesso le soluzioni dell’equazione ( z− 3− 3i)3 =−8 e rappresentarle nel piano di Gauss. (b) Detto E l’insieme di tali soluzioni, rappresentare nel piano di Gauss (senza calcolarne esplici- tamente gli elementi) l’insieme A ={ω∈ C :ω = 1 iz,z ∈E}. Poniamo w = z− 3− 3i e risolviamo l’equazione w3 =−8. Poich´ e−8 = 8(cos π +i sinπ), risulta w3 =−8 se e solo se |w|3 = 8 e 3 arg(w) =π + 2kπ (con k intero). Segue |w| = 2 e arg(w) = π 3 +k 2π 3 (k = 0, 1, 2). Si ottengono quindi le soluzioni w0 = 2(cosπ 3 +i sinπ 3 ) = 1+i √ 3 ; w1 = 2(cosπ+i sinπ) =−2 ; w2 = 2(cos 5 3π+i sin 5 3π) = 1−i √ 3, da cui si ricavano le soluzioni dell’equazione originaria: z0 = 3+3i+w0 = 4+i(3+ √ 3) ; z1 = 3+3i+w1 = 1+3i ; z2 = 3+3i+w2 = 4+i(3− √ 3). Gli elementi zk dell’insieme E (con k = 0, 1, 2) si disegnano facilmente sia direttamente che traslando i rispettivi elementi wk. Si trovano sulla circonferenza di centro (3; 3) e raggio 2. 0w 1w 2w 0z 1z 2z Gli elementi dell’insiemeA si ottengono dividendo per i gli elementi dell’insiemeE. Geometri- camente, ci` o equivale a ruotare gli elementi dell’insiemeE di novanta gradi in senso orario (perch´ e la moltiplicazione peri ` e la rotazione di novanta gradi in senso antiorario). 0z 1z 2z 0 2 1 2. Sia f : R−→ R la funzione definita ponendo f(x) = 3 √…