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A.A. 2014/2015 A.A. 2015/2016 Data per l'orale: 15/2 22/2 Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano { Ingegneria informatica { Seconda prova in itinere { 11 febbraio 2016 Cognome: Nome: Matricola: T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Gli eventuali laureandi e coloro che abbiano necessit a di sostenere l'orale domani lo indichino sul foglio 1. Sia A = 2 1 −1 1 2 1 −1 1 2 : i. Calcolare autovalori e autospazi di A: ii. Determinare dimensioni e basi ortonormali del nucleo di A e del suo complemento ortogonale. iii. Dire se esiste, ed in caso positivo trovare, una matrice ortogonale Q che diagonalizza A: 2. Nel piano riferito a un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, consideriamo la retta r di equazione x − y = 1 ed il punto F = (0; 2). i. Trovare l'equazione del luogo C di punti P nel piano la cui distanza dalla retta r e met a della distanza dal punto F: ii. Riconoscere che il luogo trovato e una conica a centro, portarla in forma canonica e determinare il cambiamento di coordinate necessario a ridurla in tale forma. iii. Trovare centro e assi di simmetria della conica. 3. Nello spazio riferito a un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, si considerino la retta r : { x = 0 y − z = 0 e la retta sh : { x + y − 2h = 0 y − h = 0 dipendente dal parametro reale h. i. Costruire la super cie Qh ottenuta dalla rotazione di sh rispetto all'asse r: ii. Classi care Qh per ogni h: iii. Trovare le rette contenute in Q1 passanti per il punto di coordinate (1 ; 1; 1). 4. Sia h un parametro reale ed S3 = {e1; e2; e3} la base canonica di R3: i. Provare che per ogni h esiste un unico fh ∈ EndR(R3) tale che…
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