11 02 2016

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Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano – Ingegneria informatica – Seconda prova in itinere 11 F ebbraio 2016 Cognome: Nome: Matricola: T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Sia A =   2 1 −1 1 2 1 −1 1 2   . i. Calcolare autovalori e autospazi di A. ii. Determinare dimensioni e basi ortonormali del nucleo di A e del suo complemento ortogonale. iii. Dire se esiste, ed in caso positivo trovare, una matrice ortogonale Q che diagonalizza A. 2. Fissato un sistema di riferimento ortonormale BO nello spazio, consideriamo le due rette dipendenti dal parametro reale h : r|BO : { x = 0 y− z = 0 , s h|BO : { x + y− 2h = 0 y− h = 0 . i. Costruire la superficie Qh ottenuta dalla rotazione di sh rispetto all’asse r. ii. Classificare Qh per ogni h. iii. Trovare le rette contenute in Q1 ed intersecanti nel punto R|BO = (1 1 1) T . 3. Dato BO un sistema di riferimento ortonormale nel piano, consideriamo r|BO : x− y + 2 = 0, F |BO = (−3 2) T . i. Trovare l’equazione del luogo C di punti P nel piano la cui distanza dalla retta r ` e met` a della distanza dal punto F. ii. Trovare il cambiamento di coordinate necessario a ridurre la curva in forma canonica e scrivere la relativa equazione. iii. Trovare la rappresentazione algebrica degli assi di simmetria della conica. 4. Sia h un parametro reale ed S3 ={e1, e2, e3} la base canonica di R3. i. Provare che per ogni h esiste un unico fh∈ EndR(R3) tale che fh(e1) = e1− he2 + e3, f h(e2 + e3) = e1 + he3, f h(e1− e2) = e1− e2 + e3 e scrivere la matrice che rappresenta l’applicazione rispetto ad S3. ii. Determinare, se esistono, i valori di h per cui fh non ` e un automorfismo e scrivere…