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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 1 Secondo appello 11 luglio 2011 Compito A Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 punti; Es.2: 6 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 12 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Risolvere nel campo complesso la seguente equazione: z2−zz + 4−i = 0 (1) Soluzione. Postoz =x +iy, si ha z =x−iy e zz =x2 +y2. Quindi l’equazione (1) si scrive: x2 + 2ixy−y2−x2−y2 + 4−i = 0 ossia −2y2 + 2ixy =−4 +i Uguagliando le parti reali e le parti immaginarie, otteniamo il sistema: { −2y2 =−4 2xy = 1 Questo sistema ha due soluzioni: (x1,y 1) = ( 1 2 √ 2, √ 2), (x2,y 2) = (− 1 2 √ 2,− √ 2) Quindi le soluzioni dell’equazione (1) sono z1 = 1 2 √ 2 +i √ 2, z 2 =− 1 2 √ 2−i √ 2 2. (a) Determinare i valori del parametro a∈ R per i quali il seguente integrale generalizzato ` e convergente: +∞∫ 0 x3e−ax2+1dx (2) (b) Calcolare il valore dell’integrale quando a = 1. Soluzione. (a) Per a≤ 0, la funzione integranda tende all’infinito per x→ +∞ e quindi l’integrale diverge a +∞. Se invece a< 0, si ha definitivamente (ad esempio) e−ax2+1 < 1 x5 ossia x3e−ax2+1 < 1 x2 Quindi, per il criterio del confronto, per ogni a > 0 l’integrale converge. Riassumendo: l’integrale (2) ` e convergente se e solo sea> 0. (b) Con il metodo di integrazione per parti, abbiamo: ∫ x3e−x2+1dx = ∫ −1 2x2[(−2x)e−x2+1]dx = −1 2x2e−x2+1− ∫ (−x)e−x2+1 = −1 2x2e−x2+1− 1 2e−x2+1 Quindi, +∞∫ 0 x3e−x2+1dx = lim b→+∞ b∫ 0 x3e−x2+1dx = lim b→+∞ [ − 1 2x2e−x2+1− 1 2e−x2+1 ]b 0 = 1 2e 3. Nello spazio R3, denotiamo con r la retta che contiene i due…