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Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Es.5 Es.6 Esercizi D.1 D.2 Domande VOTO Analisi Matematica 1 e Geometria Secondo appello – 11/7/2016 Cognome: Nome: Matricola: Firma: Professore: Ing. Gestionale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ Esercizio 1. Calcolare ∫ 1 sin/x.math/d.math/x.math. Stabilire inoltre se l’integrale improprio ∫ 1 0 1 sin/x.math/d.math/x.mathè convergente. Soluzione: Si ha: ∫ 1 sin/x.math/d.math/x.math= ∫ sin/x.math sin2/x.math /d.math/x.math= ∫ sin/x.math 1− cos2/x.math/d.math/x.math=/period.math/period.math/period.math ponendo /t.math= cos/x.mathe /d.math/t.math=− sin/x.math/d.math/x.math /period.math/period.math/period.math= ∫ 1 /t.math2− 1/d.math/t.math= 1 2 ∫ ( 1 /t.math− 1− 1 /t.math+ 1 ) /d.math/t.math= 1 2 log ⏐⏐⏐⏐ /t.math− 1 /t.math+ 1 ⏐⏐⏐⏐ +C/comma.math dunque ∫ 1 sin/x.math/d.math/x.math= 1 2 log ⏐⏐⏐⏐ cos/x.math− 1 cos/x.math+ 1 ⏐⏐⏐⏐ +C/period.math Inoltre essendo sin/x.math∼/x.mathper /x.math→ 0 l’integrale non è convergente. Esercizio 2. Si discuta il carattere della serie +∞∑ /n.math=1 /n.math/n.math /x.math/n.math/n.math! al variare del parametro /x.math >0. Soluzione: Usando il criterio del rapporto: /a.math/n.math+1 /a.math/n.math = (/n.math+ 1)/n.math+1 /x.math/n.math+1(/n.math+ 1)!· /x.math/n.math/n.math! /n.math/n.math= 1 /x.math (/n.math+ 1 /n.math )/n.math /minusleftjmn/arrowrightjmn/e.math /x.math/comma.math che risulta strettamente minore di 1 quando/x.math >/e.mathe la serie converge. La serie diverge per /x.math </e.math. Quando /x.math=/e.math, utilizzando la formula di Stirling /n.math!∼/n.math/n.math/e.math−/n.math√…