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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 2 Docente: 11 settembre 2014 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giusti cata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non  e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. Si determini una base ortonormale di R3 formata da autovettori della matrice A =   2 2 2 2 5 1 2 1 5   Soluzione: La matrice ` e simmetrica dunque esiste una base ortonormale di autovettori di A . Gli autovalori di A sono le soluzioni dell’equazione det ( A λI) = λ(λ2 12λ + 36) = 0 e sono: λ = 0 di molteplicit` a algebrica 1, e λ = 6 di molteplicit` a algebrica 2. Gli autovettori relativi all’autovalore 0 sono i vettori (2 y, y, y) ; gli autovettori relativi all’autovalore 6 sono i vettori ( x, y, 2x + y) . Fissato un autovettore dell’autospazio V6 , ad esempio (0 , 1, 1) , un autovettore ad esso ortogonale ` e ad esempio il vettore (1 , 1, 1) . Una base ortonormale di autovettori ` e: f 1√ 6 (2, 1, 1), 1√ 2 (0, 1, 1), 1√ 3 (1, 1, 1)g . 2. Sia γ l’ellisse intersezione del paraboloide z = x2 + y2 con il piano x + y + 2z = 2 . Trovare il punto di γ che ha distanza massima dall’origine. Soluzione: Si tratta di massimizzare la funzione f1(x, y) = x2 + y2 + (x2 + y2)2 , e quindi pi` u semplicemente f (x, y) = x2 + y2 , sul vincolo x + y + 2(x2 + y2) = 2 . I punti stazionari della Lagrangiana L(x, y, λ) = x2 + y2 λ(x + y + 2(x2 + y2) 2) sono: x = y = 1 2 , λ = 1 3 ; x = y = 1, λ = 2 3 . Il punto di γ a distanza massima da O ` e ( 1, 1, 2) . 3. Dopo aver verificato che la funzione y = log(cos x) cos x + x sin x ` e soluzione dell’equazione differenziale y′′ + y = 1 cos…