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Analisi Mat. 2 e Compl. di Alg. Lineare – IEC – prof. Citrini 4° appello – 11 settembre 2018 Prova4Edi_An2_2018_sol.docx 1/6 25/01/2019 COGNOME …………………… Nome ……………… Matr. ………… Firma …………………… Dichiaro di aver preso visione delle regole di esame e in particolare dei punti l-m-n-o. Firma …………………… Esercizio Quiz 1 a b c 2d e f g 3h i j 4k l 5m n Totale Punteggio 5 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 6 2 3 2 32 Voto Tempo a disposizione: 2 h. Consegnare solo questi fogli. Per ogni esercizio, indicare la risposta nell’appos ito spazio e giustificarla per sommi capi. Scrivere eventualmente qualche passaggio sul retro. Non è ammesso l’uso di libri, appunti e dispositivi elettronici. 1. Dato il sistema
 +  = 1  +  = 1  +  =  a) Determinarne la risolubilità al variare del parametro reale k. Detta A la matrice dei coefficienti e b il vettore dei termini noti, per il teorema di Rouché-Capelli il sistema è risolubile solo se rk(A | b) = rk(A). Poiché rk(A) ≤ 2, è necessario che rk(A | b) sia < 3, e, visto che tale matrice è quadrata, possiamo calcolarne il determinante, che deve essere = 0 (la condizione è solo necessaria!) Si ha det (A | b) = k3 – 3 k + 2 = 0 per k = 1 (doppia) e k = –2. Per valori diversi da questi il rango di (A | b) è 3, e il sistema è impossibile. • Per k = 1 le tre equazioni coincidono, e il sistema ammette infinite soluzioni. • Per k = –2 si tratta ha il sistema
−2 +  = 1  − 2 = 1  +  = −2 . La somma delle tre equazioni è nulla, per cui il sistema ammette una e una sola soluzione. b) Determinarne le soluzioni quando esistono • Per k = 1 le ∞ soluzioni sono date da  1 −  , con x arbitraria. • Per k = –2 il sistema ammette l’unica soluzione −1 −1 . c) interpretare geometricamente i risultati trovati, e determinare il valore della distanza dell’origine…