11 Foglio di esercizi

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Politecnico di Milano – a.a. 2022/23 Corso di Laurea in Ingegnaria Matematica Meccanica Razionale e dei Continui Docente: prof. Michele Correggi Esercitatore: dott. Michele F antechi Foglio di Esercizi 11 Campi centrali 1. Si studino i moti in un campo armonico tridimensionale, ovvero i moti descritti dalla Lagrangiana L (⃗ x,˙⃗ x) = 1 2 m| ˙⃗ x|2 − 1 2 k|⃗ x|2, ⃗ x∈ R3. In particolare, 1.1. si trovi il potenziale efficace Ueff(ϱ), ϱ := |⃗ x| e se ne faccia un grafico per L = 0 e L ̸= 0; 1.2. si faccia l’analisi qualitativa del moto (unidimensionale) per L = 0 e si dimostri che ogni orbita ` e chiusa, limitata e periodica e se ne trovi il periodo (il moto attraversa il centro delle coordinate polari: la soluzione delle equazioni del moto esiste solo per tempi finiti oppure ` e globale nel tempo?); 1.3. si faccia l’analisi qualitativa del moto radiale per L ̸= 0 e si dimostri che ogni orbita ` e chiusa, limitata e periodica; 1.4. si trovi per L ̸= 0 l’equazione dell’orbita ϱ(ϑ) usando coordinate polari ( ϱ, ϑ) ∈ [0, R+) × [0, 2π) nel piano del moto ⊥ ⃗L; 1.5. si mostri che ogni orbita ` e un’ellisse, se ne trovi il centro, i semiassi e le posizioni dei fuochi; 1.6. si dimostri che δϑ = π e se ne deduca che i moti complessivi sono sempre periodici di periodo 2 Tradiale; 1.7. si mostri che 3 quantit` a scalari uij := 1 2 m ˙xi ˙xj + 1 2 kxixj, i ̸= j ∈ {1, 2, 3}, sono integrali primi del moto indipendenti dall’energia e dal momento angolare. 2. Si studino i moti in un campo Coulombiano repulsivo, ovvero i moti descritti dalla Lagrangiana L (⃗ x,˙⃗ x) = 1 2 m| ˙⃗ x|2 − k |⃗ x|, k > 0, ⃗ x∈ R3. In particolare, 2.1. si trovi il potenziale efficace Ueff(ϱ), ϱ := |⃗ x| e se ne faccia un grafico per L = 0 e L ̸= 0; 2.2. si faccia l’analisi qualitativa del moto (unidimensionale)…