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Politecnico di Milano Ingegneria Industriale e dell’Informazione Analisi Matematica II T erzo appello – 12 F ebbraio 2018 Cognome: Matricola: Nome: Es.1: 7 punti Es.2: 7 punti Es.3: 7 punti Es.4: 12 punti T otale 1. Risolvere il problema di Cauchy { y′ = 3x e−x2 3 √y y(0) =−1 e determinare il pi` u ampio intervallo di R su cui tale soluzione pu` o essere definita. 2. Sia f : R2→ R la funzione definita da f(x,y ) =    |x| +|y|√ x2 +y2 se (x,y )̸= (0, 0) 0 se ( x,y ) = (0, 0). (a) Stabilire se f ` e continua in 0 = (0, 0) . (b) Stabilire se f ` e derivabile in 0 . (c) Stabilire se 0 ` e un punto critico dif . (d) Stabilire se 0 ` e un punto di minimo assoluto di f . (e) Stabilire se f ` e differenziabile in 0 . 3. Calcolare il lavoro del campo F = (y + x2− y2,x + x2y2) lungo la curva γ = ∂Ω , orientata positivamente, dove Ω ={(x,y )∈ R2 : 1 ≤x2 +y2≤ 4, y≤|x|}. 4. (a) Sia Σ la superficie definita dalle condizioni x2 +y2 +z2 =r2 , x,y ≥ 0 , 0 ≤z≤r/ √ 2 , dove r∈ R , r> 0 . i. Descrivere la superficie Σ e mostrare che ` e orientabile. ii. Determinare il bordo γ di Σ e disegnarlo. iii. Determinare l’orientazione di γ coerente con l’orientazione di Σ indotta dai versori normali la cui proiezione ortogonale sulla bisettrice del piano xy ha il verso del vettore (1 , 1, 0) . (b) Calcolare il lavoro del campo F = (x2 +yz,y 2 +xz,z 2 +xy) lungo la curva γ =∂Σ , orientata come nel punto (a). (c) Calcolare il flusso del campo G = (x +yz,y − 2xz,z +xy) attraverso Σ , orientata come nel punto (a). Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. T empo. 2 ore.…