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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale T eoria Analisi e Geometria 1 Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale 12 Luglio 2010 Compito A Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 punti; Es.2: 12 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni: Riportare le soluzioni nelle caselle. Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Calcolare, al variare del parametro reale α, il valore del seguente limite: lim x→0+ sinx− arctanx (e−x− 1 +x)α. SOLUZIONE Si noti che, utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, possiamo dedurre le relazioni di asintoticit` a sinx− arctanx∼x− x3 6 − ( x− x3 3 ) = x3 6 e e−x− 1 +x∼ ( 1−x + x2 2 ) − 1 +x = x2 2 per x→ 0. Di conseguenza, tornando al limite, abbiamo lim x→0+ sinx− arctanx (e−x− 1 +x)α = 2α 6 lim x→0+ x3−2α =    0+, se α< 3 2, √ 2 3 , se α = 3 2, +∞, se α> 3 2. 2. Studiare la funzione f(x) = 1 2x √ 4−x2 Riportare in tabella i risultati e il grafico. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio. Dominio di f: D(f) = [−2, 2]. Si osservi che la funzione ` e dispari, restringiamo quindi lo studio all’intervallo [0, 2]. Limiti agli estremi: f(0) =f(2) = 0 Eventuali asintoti: Nessun asintoto. Derivata prima: f′(x) = 1 2 √ 4−x2− x2 2 √ 4−x2 = 2−x2 √ 4−x2 Discutere la derivabilit` a dif: D(f′) = [0, 2). Inoltre, limx−→2−f′(x) =−∞. Studio del segno di f: f >0 in (0, 2), f(0) =f(2) = 0. Si dica se f ammette punti di massimo o minimo ASSOLUTI: f ha un punto di massimo assoluto in x = √ 2. Derivata seconda: f′′(x) = x(x2− 6) (4−x2) √ 4−x2 x∈ [0, 2) . Studio della convessit` a e della concavit` a: f′′(x)< 0 per ogni x∈ (0, 2) e f′′(0) = 0. Quindi f `…