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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca Appello 2 - 12 settembre 2015 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. 8994 Esercizio 1 Si consideri la seguente famiglia di funzioni parametrizza ta da p ∈ R fp(x) =            p/2 x = 2 p/2 x = 0 1 − p x = − 1 0 x ̸∈ {− 1, 0, 2}. 1. Per quali valori di p la funzione fp ` e una densit` a di probabilit` a discreta? 2. Per ogni valore calcolato al punto precedente, si denoti c on Xp una variabile di densit` a fp. Si calcolino valore atteso e varianza di Xp. 3. Supponiamo che il parametro venga scelto a caso tramite un a variabile Y tale che P(Y = 1) = 1 /3 e P(Y = 1 /2) = 2 /3; si definisca XY la variabile di densit` a fp dove p = Y . In altre parole, dato che Y = 1 allora XY ha densit` a f1 mentre condizionato a Y = 0 la variabile XY ha densit` a f0. Calcolare la probabilit` a che Y = 1 sapendo che XY = 0. 4. Si consideri la famiglia di stimatori Tn = ( X n + 1)/2, con n = 1 , 2, . . .. Mostrare che ` e una famiglia consistente di stimatori non distorti. ( Sugg: si ricavi p dal valore atteso E[X] calcolato al punto 2. ) 5. Siano X1, . . . , Xn variabili i.i.d. di densit` a f1. Stimare il minimo valore di n affinch` e P(∑n i=1 Xi ≥ 100) ≥ 0.99. 1 Soluzione. 1. Per essere una densit` a discreta si deve avere ∑ x fp(x) = 1 (i.e. fp(− 1) +fp(0) +fp(2) = 1) e fp(x) ≥ 0 per ogni x ∈ R. La prima condizione ` e sempre soddisfatta, mentre la secon da ` e soddisfatta se e solo se p ∈ [0, 1]. 2. E[X] = ∑ x xfp(x) = − 1 ·(1 − p) + 0 ·p/2 + 2 ·p/2 = 2 p − 1. Inoltre var( X) = E[X 2] − E[X]2 = 4p/2 + 1 − p − (2p − 1)2 = 5p − 4p2 = (5 − 4p)p. 3. Dai dati abbiamo che P(Y = 1) = 1 /3, P(Y = 1 /2) = 2 /3, P(XY = 0 |Y = 1) = 1 /2 e P(XY = 0 |Y = 1/2) =…