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Analisi Matematica 2 – ITEA – prof. Citrini 4° app ello – 12 settembre 2017 Prova4Edi_An2_2017_sol.docx 1/4 21/01/2018 COGNOME …………………… Nome ……………… Matr. ………… Firma …………………… Esercizio 1 a 2b c d 2 e 3 f g h i Totale Punteggio 2 2 4 3 6 4 4 3 3 31 Voto Tempo a disposizione: 2 h 30’. Consegnare solo questi fogli. Per ogni esercizio, indicare la risposta nell’appos ito spazio e giustificarla per sommi capi. Scrivere eventualmente qualche passaggio sul retro. Non è ammesso l’uso di libri, appunti e dispositivi elettronici. 1. Data la matrice A = 1 +1 1 1 0 4 2+3 1 a) Studiarne il rango al variare del parametro reale k Il rango è almeno 2 perché il minore 1 1 4 1 è ≠ 0. Si ha poi det(A) = 1 +1 1 1 0 3 +2 0 = 1 3 +2 = +2−3 = 0 per k = –3, 1, quindi rk(A) = 2 per k = –3, 1, rk(A) = 3 altrimenti. b) Determinarne il nucleo al variare di k Per k ≠ –3, 1, il nucleo si riduce al vettore nullo; per k = –3 la matrice diviene 1 −2 1 −3 1 0 4 −3 1 , e il sistema A x = 0 ha le soluzioni x = 1 3 5 t ; per k = 1 la matrice diviene 1 2 1 1 1 0 3 3 0 , e il sistema Ax = 0 ha le soluzioni x = 1 −1 1 t . c) Risolvere il sistema A x = b per b = +1 0 2 Per k = –3 il sistema è −2+=−2 −3+=0 4−3+=2 , equivalente a −2+=−2 −3+=0 3−=4 , palesemente impossibile perché le ultime due equazioni sono incompatibili; per k = 1 il sistema è +2+=2 +=0 4+5+=2 , equivalente a +2+=2 +=0 3+3=0 , da cui, eliminando la terza equazione, =−=2− , da cui la soluzione generale = −2 2 0 + 1 −1 1 . Analisi Matematica 2 – ITEA – prof. Citrini 4° app ello – 12 settembre 2017 Prova4Edi_An2_2017_sol.docx 2/4 21/01/2018 Nel caso generico +(+1)+=+1 +=0 4+(2+3)+=2 , riducendo come sopra si ha +(+1)+=+1 =− 3+ (+2 )=1− ,…
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