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Analisi Matematica 2 & Alg.Lin. – IEC – prof. Citrini 6° appello – 13 febbraio 2019 Prova6Edi_An2_2018_sol.docx 1/4 18/02/2019 COGNOME …………………… Nome ……………… Matr. ………… Firma …………………… Esercizio 1 a b 2c 3d e 4f g h i j Totale Punteggio 3 3 2 3 3 4 3 3 3 3 30 Voto Tempo a disposizione: 2 h 30’. Consegnare solo questi fogli. Per ogni esercizio, indicare la risposta nell’appos ito spazio e giustificarla per sommi capi. Scrivere eventualmente qualche passaggio sul retro. Non è ammesso l’uso di libri, appunti e dispositivi elettronici. 1. Si consideri il sistema lineare (*) + 2 + 2ℎ − 1 = 0 ℎ + ℎ − 4 = ℎ + 2 ℎ + 1 + 2 + ℎ − 1 = 4 . a) Determinare rango e nucleo della matrice A dei coefficienti al variare del parametro reale h Risulta A = A(h) = 1 2 2ℎ − 1 ℎ 0 ℎ − 4 ℎ + 1 2 ℎ − 1 , e quindi det( A) = 1 2 2ℎ − 1 ℎ 0 ℎ − 4 ℎ + 1 2 ℎ − 1 = 1 2 2ℎ − 1 ℎ 0 ℎ − 4 0 0 −2ℎ + 4 = −2ℎ − 2 1 2 ℎ 0 = 4ℎℎ − 2 . Pertanto rk( A) = 3 per h ≠ 0, 2, mentre essendo A(0) = 1 2 −1 0 0 −4 1 2 −1 , A(2) = 1 2 3 2 0 −2 3 2 1 , è rk( A) = 2 per h = 0, 2. Il nucleo di A(0) è generato dal vettore 2 −1 0 , quello di A(2) da 1 −2 1 . b) Discutere esistenza e unicità delle soluzioni al variare di h, e determinarle ove possibile. Nel caso h = 0 il termine noto 0 2 4 è palesemente incompatibile con la matrice A, in quanto la terza riga non è identica alla prima. Per h = 2, invece, la terza riga di A è somma delle prime due, e lo stesso avviene per il termine noto b = 0 4 4 . Pertanto esistono infinite soluzioni, date per esempio da 2 −1 0 + 1 −2 1 . In tutti gli altri casi esiste una e una sola soluzione, data da − ! . Analisi Matematica 2 & Alg.Lin. – IEC – prof. Citrini 6° appello – 13 febbraio 2019…
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