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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Primo appello Docente: 13 luglio 2010 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. SOLUZIONE DI UNO DEI COMPITI 1. a) Data la matrice A =   2 −2 0 −2 9 2 0 2 2   si trovino, se possibile, una matrice ortogonale Q e una matrice diagonale D tali che D = QTAQ . b) La funzione (forma quadratica) q(x,y,z ) = 2x2− 4xy + 9y2 + 4yz + 2z2 ha nell’origine (0, 0, 0) un punto di massimo assoluto, di minimo assoluto o di sella? Giustificare la risposta. Soluzione La matrice A ` e simmetrica, perci` o per il teorema spettrale esistono una matrice ortogonale Q e una matrice diagonale D tali che D = QTAQ . La matrice D ha sulla diagonale principale gli autovalori di A , che sono le radici del polinomio caratteristico: ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ 2−λ −2 0 −2 9 −λ 2 0 2 2 −λ ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ = (2−λ) ⏐⏐⏐⏐ 9−λ 2 2 2 −λ ⏐⏐⏐⏐ + 2 ⏐⏐⏐⏐ −2 0 2 2 −λ ⏐⏐⏐⏐ = = (2−λ)(λ2− 11λ + 18− 4) + 2(−2)(2−λ) = (2−λ)(λ− 1)(λ− 10) Gli autovalori di A sono perci` oλ1 = 1 , λ2 = 2 e λ3 = 10 . L’autospazio relativo a λ1 = 1 ` e la retta di equazioni (A− I)x = 0, cio` ex− 2y = 2y +z = 0 . Un versore su questa retta ` e [2/3, 1/3,−2/3]T . L’autospazio relativo a λ2 = 2 ` e la retta di equazioni (A− 2I)x = 0, cio` ex−z =y = 0 . Un versore su questa retta ` e [ √ 2/2, 0, √ 2/2]T . L’autospazio relativo a λ3 = 10 ` e la retta di equazioni (A− 10I)x = 0, cio` e 4x +y =y− 4z = 0 . Un versore su questa retta ` e √ 2 6 [1,−4,−1]T . Le due matrici Q =   2 3 √ 2 2 √ 2 6 1 3 0 − 2 √ 2 3 − 2 3 √ 2 2 − √ 2 6   D =   1 0 0 0 2 0…