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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 2 Docente: 13 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giusti cata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. E data la matrice Ak = 2 4 9 k 3 0 k 0 3 0 1 3 5 (a) Per ogni valore del parametro k 2 R discutere la diagonalizzabilit a di Ak . (b) Per ogni valore del parametro k 2 R determinare una base del nucleo e dell'immagine dell'applicazione lineare rappresentata da Ak . (c) Per i valori di k per cui e possibile, trovare una matrice ortogonale che diagonalizza Ak . Soluzione. (a) Gli autovalori sono 0 ; 10; k . Se k ̸= 0; 10 gli autovalori sono semplici e la matrice Ak e diagonalizzabile. Se k = 0 , A0 e simmetrica, quindi diagonalizzabile. Se k = 10 , l'autovalore 10 ha un difetto di molteplicit a e A 10 non e diagonalizzabile. (b) Ak e singolare. Se k = 0 , r(A0) = 1 . Abbiamo: base dell'immagine: 8 < : 2 4 3 0 1 3 5 9 = ; base del nucleo: 8 < : 2 4 1 0 3 3 5 ; 2 4 0 1 0 3 5 9 = ; : Se k ̸= 0 , r(Ak) = 2 . Abbiamo: base dell'immagine: 8 < : 2 4 3 0 1 3 5 ; 2 4 1 1 0 3 5 9 = ; base del nucleo: 8 < : 2 4 1 0 3 3 5 9 = ; : (c) La matrice e ortogonalmente diagonalizzabile solo se k = 0 . Dell'autospazio dell'autovalore nullo abbiamo gi a la base. L'autospazio dell'autovalore 10 e generato dal vettore 2 4 3 0 1 3 5 : Una matrice ortogonale che diagonalizza A0 e 2 666664 3p 10 1p 10 0 0 0 1 1p 10 3p 10 0 3 777775 : 2. Si consideri l'equazione differenziale y′′(x) + 2ay′(x) + 4y(x) = 0 ; a > 0: (a) Determinarne l'integrale generale ya(x) al variare di a > 0 .…
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