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T eoria Es. 1 Es. 2 T otale Analisi e Geometria 1 Prima prova in itinere 13 Novembre 2017 Compito E Docente: Numero di iscri- zione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Punteggi: Teoria: 8=4+4; Esercizio 1: 8 = 2+2+2+2; Esercizio 2: 14 = 4 + 4 + 2 + 4. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo o sul retro del foglio. I fogli di brutta non devono essere consegnati. T eoria A) Scrivere con precisione la definizione di: funzione derivabile (o di↵erenziabile) in un punto. B) Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla convergenza delle successioni monot` one. (Scrivere qui sotto e sul retro di questo foglio). Esercizi (Le risposte devono essere motivate e poi riportate nelle caselle) 1. (a) Disegnare nel piano di Gauss gli insiemi A = n z 2 C :1 | z| 2 , ⇡ 6  arg z  ⇡ 3 o B = ( w 2 C : w = p 3 2 + i 1 2 ! z con z 2 A ) . Risposta. Insieme A Risposta. Insieme B (b) Scrivere in forma algebrica ( z = a + ib, a, b 2 R) tutti i numeri complessi z che soddisfano l’equazione ⇣ z i 2 ⌘3 = ⇣1+ i 1 i ⌘3 (1) Risposta. Le soluzioni, in forma algebrica, dell’equazione (1) sono: (c) Determinare la forma esponenziale rei# di 1 /¯z (¯z denota il coniugato di z), dove z =3 ei ⇡ 6 . Forma esponenziale rei# di 1 ¯z : r = # = Soluzione (a) Insieme A: A = n z 2 C :1 | z| 2 , ⇡ 6  arg z  ⇡ 3 o P Q R S 1 2 L’insieme A ` e tutta la regione delimitata dai due segmenti PQ e RS e dai due archi QR e SP ,i n c l u s o il bordo. Poich´ ew0 = p 3 2 + i 1 2 ` e un numero complesso di modulo 1 e di argomento ✓ = ⇡ 6 ,l ’ i n s i e m eB = w0 A si ottiene ruotando l’insieme A attorno all’origine di un angolo ✓ = ⇡ 6 , in senso antiorario. Pertanto, si ha B = n z 2 C :1 | z| 2 , ⇡ 3  arg z  ⇡ 2…