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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale T eoria Analisi e Geometria I Ing. AER-MEC-ENG Seconda prova in itinere 31 gennaio 2011 Cognome (stampatello): Nome: Matricola: c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. • Le risposte alle domande devono essere scritte su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, solo in caso di necessit` a, sul retro. Non verranno accettati fogli di brutta. • Ogni risposta deve essere giustificata. • Punteggi degli esercizi : Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti. 1. Sia r la retta di equazioni parametriche r :    x = −1 + 3t y = −t z = 2 + t e sia P ≡ (2, 1, −1). (a) Rappresentare in forma cartesiana il piano π che contiene r e passa per P . (b) Rappresentare in forma parametrica la retta s che passa per P , ` e contenuta inπ ed ` e ortogonale a r. 2. Data la curva γ avente equazione parametrica γ : r(t) = ( t4 + t2 − t)i + (t5 + t)j, t ∈R, (a) stabilire se γ ` e semplice; (b) determinare il versore tangente T in P (0, 0); (c) determinare il versore normale N in P (0, 0); (d) determinare l’equazione del cerchio osculatore in P (0, 0). 3. Data l’equazione differenziale y′ = − 2 x y + 4x, (a) determinare l’integrale generale; (b) risolvere il problema di Cauchy y′ = − 2 x y + 4x, y (1) = 2 , specificando l’intervallo massimale sul quale tale soluzione pu` o essere estesa. 4. Dato l’integrale improprio ∫ 64 0 1 xα( 3√x − 9) dx, (a) determinare per quali valori di α esso converge; (b) calcolarlo per α = 1 2 . Domanda di teoria