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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 13 Gennaio 2026 ©I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1 Si supponga che nella misurazione del raggio R di un cuscinetto a sfera si commetta un errore con distri- buzione Normale di media nulla e varianza nota σ2, e che vengano eseguite n misurazioni indipendenti di tale raggio. (a) Si descriva il modello statistico delle n misure del raggio. (b) Si calcoli il volume medio V occupato da un cuscinetto a sfera. (c) Si trovi lo stimatore di massima verosimiglianza Vn per il volume V . (d) Si stabilisca se Vn ` e UMVUE. (e) Si determini se Vn ` e consistente. (f) Si determini la legge asintotica di Vn. 1 Esercizio 2 Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione con densit` a f(x; θ) = (θ + 1)xθI(0,1)(x) dove θ ` e un parametro positivo incognito,θ ≥ 0 (a) Si costruisca, utilizzando un campione di ampiezza n = 1, un test UMP di livello α per H0: θ = 0 vs H1: θ = θ1, con θ1 > 0. (b) Si costruisca, utilizzando un campione di ampiezza n = 1, un test UMP di livello α per H0: θ = 0 vs H1: θ > 0. (c) Si determini la funzione potenza β(θ) per il test costruito al punto (b), e se ne calcoli il limite per θ → ∞. (d) Si dimostri che il test costruito al punto (b) ` e non distorto. (e) Si mostri che la densit` af(x; θ) appartiene alla famiglia esponenziale. (f) Si determini una statistica sufficiente, minimale e completa T per θ. 2 Domande (a) Dare la definizione di statistica completa per un parametro θ incognito di un modello parametrico. (b) Dare la definizione di UMVUE per per un parametro θ…
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