14 02 10consol

Page 1

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale T eoria Analisi e Geometria 1 Docente: Politecnico di Milano Primo appello Ingegneria Industriale 15 F ebbraio 2010 Compito A Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 punti; Es.2: 12 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni: Riportare le soluzioni nelle caselle. Tutte le risposte dev ono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Si consideri l’equazione z4 + 2z = 0, nel campo complesso C. (a) Scrivere tutte le soluzioni nella forma a + ib. (b) Sia ˆz la soluzione che verifica Re(ˆz) > 0 e Im(ˆz) < 0. Calcolare lim n− → +∞ 1 2 ( ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ Re(ˆz) Im(ˆz) ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ n + 1 ) . Motivare le risposte, riportando i calcoli: Riscriviamo l’equazione come z(z3 + 2) = 0 , e annulliamo separatamente ciascuno dei due fattori. Per il primo chiaramente si ha z = 0, per il secondo indicate con zk (k=0,1,2) le radici terze di − 2, si ha zk = 3√ 2 [ cos ( π + 2kπ 3 ) + i sin ( π + 2kπ 3 )] , k = 0, 1, 2. Quindi z0 = 3√ 2 [ 1 2 + i √ 3 2 ] , z 1 = − 3√ 2, z 2 = 3√ 2 [ 1 2 − i √ 3 2 ] , La soluzione ˆz che verifica Re(ˆz) > 0 e Im(ˆz) < 0, ` e ˆz = 3√ 2 [ 1 2 − i √ 3 2 ] . Si ha |Re(ˆz)/Im(ˆz)|= 1/ √ 3, e quindi lim n− → +∞ 1 2 ( ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ Re(ˆz) Im(ˆz) ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ n + 1 ) = lim n− → +∞ 1 2 (( 1√ 3 ) n + 1 ) = 1 2 . 2. Studiare la funzione f (x) = arctan ( |x|+ 4 x − 4 ) . Riportare in tabella i risultati e il grafico. Riportare conc isamente i calcoli sul retro del foglio. Dominio di f : dom f = R \ { 4} Limiti agli estremi: Esplicitando, f (x) =        arctan ( − x + 4 x − 4 ) = arctan(− 1) = − π 4 se x < 0, arctan ( x + 4 x − 4 ) se x ≥ 0 e x ̸= 4 da cui lim x− →−∞ f (x) = − π 4 , lim x− → +∞ f (x) =…