14 11 17

Page 1

Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 14-11-2017 Esercizio 1. Si consideri la seguente equazione nella variabile complessa z: (∗) |z3− 8i| = ⏐⏐⏐⏐ 1 z3− 1 8i ⏐⏐⏐⏐. a. Determinare le soluzioni di (∗) e rappresentarle sul piano complesso. b. Descrivere l’insieme S ={w∈ C :w = (1 +i)z ovez ` e soluzione di (∗)} e rappresentarlo sul piano complesso. Soluzioni a. Notiamo subito che z = 0 ` e un valore non accettabile, pertanto esso non pu` o essere soluzione di ( ∗). Abbiamo quindi |z3− 8i| = ⏐⏐⏐⏐ 1 z3− 1 8i ⏐⏐⏐⏐ ⇐⇒ | z3− 8i| = ⏐⏐⏐⏐ 8i−z3 8iz3 ⏐⏐⏐⏐ ⇐⇒ | z3− 8i| ( |8iz3|− 1 ) = 0. Per tanto, in virt` u della legge di annullamento del prodotto, tutte e sole le soluzioni di ( ∗) soddisfano il sistema    z3− 8i = 0 ⇐⇒ z3 = 8i (problema di radice cubica), |8iz3| = 1 ⇐⇒ | z|3 = 1 8 (equazione dei moduli). L’insieme delle soluzioni di (∗) sar` a pertanto rappresentato daA∪B, ove A = 3√ 8i = { 2 [ cos (π 6 ) +i sin (π 6 )] , 2 [ cos (5 6π ) +i sin (5 6π )] , 2 [ cos (3 2π ) +i sin (3 2π )]} = {√ 3 +i,− √ 3 +i,−2i } (triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di centro 0 e raggio 2) e B = { z∈ C :|z| = 1 2 } (circonferenza di centro 0 e raggio 1/2). b. L’insieme S pu` o essere descritto comef(A)∪f(B), ove f(z) = (1 + i)z. Ricordando che tale funzione rappresenta una roto-dilatazione di centro 0, angolo π/4 e modulo √ 2, abbiamo quindi f(A) = { (1 +i)( √ 3 +i), (1 +i)(− √ 3 +i),−2i(1 +i), } = {√ 3− 1 +i( √ 3 + 1),− √ 3− 1 +i( √ 3 + 1), 2− 2i } (triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di centro 0 e raggio 2 √ 2) e f(B) = { z∈ C :|z| = √ 2 2 } (circonferenza di centro 0 e raggio √ 2/2). Esercizio 2. Studiare la funzione f(x) = 1 2x2−x + ln|x + 1|. Dominio di f: D(f) = (−∞,−1)∪ (−1, +∞) Limiti agli estremi: lim x→−∞ f(x) =…