14 Foglio di esercizi

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Politecnico di Milano – a.a. 2022/23 Corso di Laurea in Ingegnaria Matematica Meccanica Razionale e dei Continui Docente: prof. Michele Correggi Esercitatore: dott. Michele F antechi Foglio di Esercizi 14 Equazioni di Eulero e Corpi Rigidi 1. Si dimostri che il moto di un corpo rigido con punto fisso O il cui ellissoide di inerzia sia di rotazione (I1 = I2) in assenza di forze esterne ` e dato, perL ̸= 0, dalla sovrapposizione di due moti periodici di periodo Tφ e Tψ che dipendono dai dati iniziali: 1.1. Scegliendo la terna fissa in modo che ˆk ∥ ⃗KO, si trovino le componenti di ⃗K ′ O e ⃗ ω rispetto alla terna solidale usando gli angoli di Eulero ϑ, φ e ψ; 1.2. si usi la conservazione di | ⃗KO|2 e ⃗K ′ O · ˆe3 per integrare le equazioni del moto per gli angoli di Eulero e mostrare che ϑ(t) = ϑ(0) mentre il moto degli altri due angoli ` e periodico; 1.3. si dimostri che le rotazioni stazionarie rappresentano dei punti di equilibrio del moto complessivo del corpo rigido ma nessuno di essi ` e stabile. 2. Si consideri un corpo rigido con punto fisso O in assenza di forze esterne conI1 < I 2 < I 3. Si dimostri che il moto si pu` o ridurre al moto di un punto materiale unidimensionale di massa 2, energia 0 e potenziale V (x) = −[2EI3 − L2 − (I3 − I2)I2x2] [L2 − 2EI1 − (I2 − I1)I2x2] I1I 2 2 I3 , dove E ` e l’energia del corpo rigido eL il modulo del suo momento angolare. 2.1. Si usi la conservazione dell’energia e del momento angolare per esprimere ω1 e ω3 in funzione di ω2; 2.2. si usi quindi la seconda equazione di Eulero per trovare un’equazione differenziale chiusa per ω2; 2.3. si mostri che l’equazione cos` ı ottenuta descrive il moto di un punto materiale unidimensionale di massa 2, energia 0 e potenziale V (x); 2.4. si faccia l’analisi qualitativa del moto…