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ESERCIZIO 1 Nello spazio euclideoR3, considera le rette r: $ ’’’& ’’’% x“´1´2t y“2`t z“´t e s: $ & % ´x`y`4z´1“0 x`2y´2“0 . (i)Stabilisci la posizione reciproca dires. (ii)Calcola la distanza trares. (iii)Determina, se esiste, una retta passante perP“p0, 2, 1qe incidente entrambe le retteres. – 2 – – 3 – ESERCIZIO 2 Considera l’applicazione lineareL:R3Ñ R3definita da Lpe1q“2e1´e2, Lpe2q“ke2`e3, Lpe3q“e1´e2`e3 dovek`e un parametro reale. (i)Scrivi la matrice rappresentativaAdiLrispetto alla base canonicaE“te1,e2,e3udiR3. (ii)Determina per quali valori dikPRl’applicazione lineareLnon`e suriettiva. Per i valori dik trovati, calcola la dimensione di impLqed esibisci un vettore diR3non appartenente all’immagine. (iii)V erifica chel“1`e un autovalore diAe calcola l’autospazio corrispondente. (iv)Determina per quali valori dikPRla matriceA`e diagonalizzabile suR. – 4 – – 5 – ESERCIZIO 3 Considera la matriceAPMRp3, 2qed il vettorebPR3seguenti A“ » —Ð 10 1´1 12 fi fl, b“ » —Ð k 1 1 fi fl,kPR. (i)Discuti l’esistenza di soluzioni del sistema lineareAx“b. (ii)Postok“´2, determina la proiezione ortogonale dibsu colpAq. (iii)Postok“´2, scomponibcome sommab“v`wconvPcolpAqewPcolpAqK. – 6 –
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