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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 T erzo Appello Docente: 15–02–2011 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia assegnata la superficie S di equazioni parametriche x = sin( uv ) y = cos( uv ) ( u, v ) ∈ T z = −2u dove T = {(u, v ) ∈ R 2 | π 6 ≤ v ≤ π 2 , 1 2 ≤ u ≤ sin v }. (a) Dare la definizione di integrale di superficie. (b) Calcolare l’area della porzione di superficie S che si proietta su T . (c) Calcolare l’integrale di superficie: I = ∫ S x2 + y2 z dS. 2. Si consideri il sistema di equazioni differenziali { x′ = x + 2 y y′ = 2 x + y. (a) Siano X1 = ( x1, y 1) e X2 = ( x2, y 2) due soluzioni del sistema; si dica se la funzione X1 + X2 ` e soluzione. Si giustifichi la risposta. (b) Si trovi l’integrale generale del sistema. 3. Sia L l’applicazione lineare che, rispetto alla base canonica di R3 , ` e rappresentata dalla matrice A = 2 2 0 2 4 2 0 2 2 . Determinare, se esiste, una base ortonormale di R 3 formata da autovettori di A
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