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Algebra lineare e geometria Appello Docente: 15 giugno 2021 Cognome: Nome: Matricola: 1.Esercizio 1. Si consideri lo spazio euclideoR3dotato del prodotto scalare standard e con la base canonica B={e1,e2,e3}.S i aL:R3!R3l’applicazione lineare definita da L(e1)=3e1+e2+e3,L (e2)=e2 2e3,L (e3)=e1+e2 e3. (a) Scrivere la matrice rappresentativa diLrispetto alla base canonicaB,illustrando sinteti- camente il procedimento utilizzato. (b) Determinare una base di ker(L) e una base di im(L),illustrando sinteticamente il procedi- mento utilizzato. Calcolare la dimensione di ker(L)\im(L) (c) Determinare la matricePrappresentativa della proiezione ortogonale su im(L) rispetto alla base canonicaB,illustrando sinteticamente il procedimento utilizzato. 2.Esercizio 2. Data la matrice A= 2 4 h1h 1 11 0 00 2 3 5 (a) Stabilire per quali valori dih2Rla matriceAammette 2 come autovalore doppio. (b) In corrispondenza di tale valore dihdeterminare, se esiste, una base di autovettori diR3 illustrando sinteticamente i calcoli. Dire se esiste una base ortonormale di autovettori di R3motivando adeguatamente la risposta. (c) Postoh= 2 determinare il complemento ortogonale di ker(A). (d) In corrispondenza dei valori dihtrovati al punto (a), determinare gli autovalori diA6. 3.Esercizio 3. Si consideri il sistema lineareAx=b, conb=[ 0, h,0]T, A= 2 4 h 1 2 h h 43 3 5 eh2R. (a) Determinare per quali valori dih2Ril sistema ammette soluzioni e per talihtrovare l’insieme delle soluzioni,motivando la risposta e menzionando quali teoremi sono stati utilizzati. (b) Intepretare geometricamente i risultati ottenuti nel punto precedente. (c) Postoh=1 •determinare la proiezione ortogonale del vettore dei termini noti sullo spazio delle colonne della matrice dei coe cienti; •scrivere in forma matriciale il sistema…
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