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Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria T erzo appello 15 Luglio 2015 DOMANDA 1 Si consideri il problema di Cauchy-Dirichlet:    ut uxx = 0 (t;x ) 2 Ω = (0; +1)  (0; ); u(t; 0) = 0 t> 0 u(t; ) = 3 t> 0 u(0;x ) = sinx + sin 2x 3x x 2 [0; ] (1) 1. (E) Si risolva il problema col metodo della separazione delle variabili, riportando solamente i passaggi principali. 2. (E) Si calcoli u∞(x) = lim t→+∞u(t;x ). 3. (T) Si enunci il principio del massimo/minimo per l’equazione di diffusione. 4. (E) Si trovino max (t;x)∈[0;10]×[0;] u(t;x ) e min (t;x)∈[0;10]×[0;] u(t;x ) 5. (T) Sia uh(x;t ) = ∑Nh j=1uj(t) j(x) la soluzione approssimata agli elementi finiti del prob- lema (1), e M u′(t) +Au(t) = F (2) il sistema risultante dalla semidiscretizzazione spaziale, dove [ u(t)]j =uj(t). Scrivere le matrici M , A e il vettore F in funzione delle funzioni j(x) che costituiscono la base dello spazio a elementi finiti. 6. (E) Si riportino i valori numerici delle matrici M ,A e del vettore F ipotizzando di effettuare la discretizzazione spaziale con elementi finiti lineari definiti su una partizione uniforme dell’intervallo [0; ] con passo h ==5. 7. (T) Ipotizzando di effettuare la discretizzazione temporale con il metodo di Eulero in avanti, si derivi la condizione sul passo di avanzamento temporale per l’assoluta stabilit` a del metodo. DOMANDA 2 Si consideri la funzione f (x) = arctan(3x). 1. (T) Dato un insieme di punti fxjg, j = 0;:::;N , si definisca il polinomio interpolante di Lagrange della funzione f (x) nei punti fxjg. 2. (T) Si enunci un teorema di esistenza e unicit` a per il polinomio interpolante di Lagrange. 3. (E) Si scriva il polinomio interpolante di Lagrange della f (x) data relativo ai nodi 0; 1=3; p 3=3. 4. (M) Si costruiscano il polinomio interpolante di…