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ESERCIZIO 1 Considera la matrice A“ » —Ð hh h hh`kh´k hh´kh`k fi fl, h,kPR. (i)Stabilisci per quali valori dih,kPRla matriceAha rango 2. (ii)Per i valori determinati al punto(i), determina per quali vettoribil sistemaAx“b`e risolubile. (iii)Stabilisci per quali valori dih,kPRla forma quadratica associata adA`e semidefinita positiva. – 2 – – 3 – ESERCIZIO 2 Considera l’applicazione lineareL:R3Ñ R3definita daLpxq“Ahxdove x“ » —Ð x1 x2 x3 fi fl e Ah“ » —Ð h 00 0h´22´h 02 ´2 fi fl,hPR. (i)Per ogni valore dihPR, determina gli autovalori diAh. (ii)Stabilisci per quali valori dihla matrice`e diagonalizzabile. (iii)Scrivi, quando possibile, la decomposizione spettrale diAh. – 4 – – 5 – ESERCIZIO 3 Considera lo spazio vettorialeMRp2, 2qdelle matrici reali quadrate 2ˆ2 dotato della struttura euclidea data dal prodotto scalarexA,By“trpABTqper ogniA,BPMRp2, 2q. (i)Determina tutte le matrici ortogonali aA“ « 12 00 . (ii)Determina una base ortonormale del sottospazio vettoriale H“Span ˜« 01 00 , « 00 10 , « 12 00 ¸ . (iii)Dimostra che la funzionex,y:MRpn,nqˆMRpn,nqÑ Rdefinita daxA,By“trpABTqdefinisce un prodotto scalare per ognin. (iv)Determina un’applicazione lineareL:MRpn,nqÑ Rn2 tale che xA,Ay“LpAq¨LpAq, @APMRpn,nq, dove¨denota il prodotto scalare euclideo standard diRn2 . – 6 –
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