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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e geometria 2 II Appello Docente: 15 settembre 2011 Cognome: Nome: Matricola: • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Date le matrici: A =   1 0 0 −1 1 1 −1 0 2   e B =   2 0 0 0 1 0 −1 0 1   , (a) trovare gli autovalori di A e di B ; (b) stabilire se le matrici A e B sono diagonalizzabili; (c) stabilire se esistono due matrici P e Q invertibili tali che P −1AP = Q−1BQ . 2. Data la funzione f (x) , periodica di periodo 2 π , definita da f (x) = { 0 se − π ≤ x ≤ 0 sin x se 0 ≤ x ≤ π (a) disegnare il grafico di f nell’intervallo [ −2π, 2π]; (b) calcolare i coefficienti a1 e b1 della serie di Fourier di f ; (c) stabilire per quali x ∈R la serie di Fourier di f converge a f (x) . 3. (a) Dare la definizione di flusso di un campo vettoriale attraverso il bordo di un dominio limitato in R2 . (b) Enunciare il teorema della divergenza nel piano. (c) Mediante il teorema della divergenza calcolare il flusso del vettore F = 2xyi + x6j attraverso il bordo ∂+D del dominio D che, nelle coordinate polari ( ρ, θ) , ` e dato da D = {0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ θ1/3}. 4. Si consideri la funzione f (x, y) =    x3 − 3x2y 3x2 + y2 se ( x, y) ̸= (0, 0) 0 se ( x, y) = (0 , 0) (a) Dimostrare che f (x, y) ` e continua inR2 . (b) Calcolare la derivata direzionale di f (x, y) in (0 , 0) lungo la direzione individuata dal vettore v = (1, 1) . (c) Dire se f (x, y) ` e differenziabile in (0 , 0) . Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e geometria 2 II Appello Docente: 15 settembre 2011 Cognome: Nome:…