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T.(a) T.(b) Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Totale Analisi e Geometria 1 Quarto Appello Settembre 2018 Docente: Numero di iscri- zione: Cognome: Nome: Matricola: Prima parte: Teoria (punti 4+4). T.(a) Enunciare e dimostrare il teorema di unicit` a del limite di successioni in R. T.(b) Dimostrare il seguente teorema: Se la lunghezza di un vettore v(t) in R3 (oppure in R2) ` e costante al variare di t in un intervallo I di R, allora il vettore derivato v′(t) ` e ortogonale av(t). Seconda parte: Esercizi. Punteggi degli esercizi: Es.1: 2+2 Es.2: 2+2+2+2+2 Es.3: 2+2 Es.4: 2+2 Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Esercizio 1 (a) Scrivere in forma esponenziale e riportare sul piano di Gauss le soluzioni in C dell’equazione: z4 = ei(− 2 3π) (b) Trovare i punti fissi della trasformazione C f −→ C che manda z∈ C in f(z) = 1 i z + i (I punti fissi di f sono le soluzioni di f(z) = z.) Di quale trasformazione geometrica si tratta? Motivare la risposta. Risposte (a) Soluzioni e loro rappresentazione sul piano di Gauss : (b) Punti fissi: Di quale trasformazione geometrica si tratta? Spiegare. Risposte (a) L’equazione z4 = ei(− 2 3π) ha le quattro soluzioni complesse e i ( − 2π 3 +2hπ 4 ) , h = 0, 1, 2, 3. Facendo i conti, tali soluzioni si scrivono nel modo seguente: ei(−π 6 ), e i(π 3 ), e i( 5π 6 ), e i(− 2π 3 ) ( = ei( 4π 3 ) ) Questi quattro punti sono i vertici di un quadrato inscritto nella circonferenza unitaria. (b) L’equazione (algebrica di primo grado) 1 i z + i = z ha una e una sola soluzione: z = 1 2 + 1 2 i Siccome il coefficiente 1 /i ` e unitario (ha modulo 1), la trasformazionez↦−→ f(z) = 1 i z + i ` e la…
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