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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Analisi e Geometria 1 Docente: Politecnico di Milano Prima prova in itinere. Ingegneria Industriale 15 novembre 2010 Compito A Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.1: 6 punti; Es.2: 12 punti; Es.3: 7 punti; Es.4: 5 punti. Istruzioni: Riportare le soluzioni nelle caselle. Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Calcolare, al variare del parametro reale α, il valore del seguente limite: lim x→0+ (1 +x)1/2−ex/2 [ln(1 +x)]α . SOLUZIONE Si noti che, utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, possiamo dedurre le relazioni (1 +x)1/2−e−x/2 = 1 +x 2− x2 8 +o(x2)− ( 1 +x 2 + x2 8 ) +o(x2) =−x2 4 +o(x2) e [ln(1 +x)]α =xα [1 +o(1)] per x→ 0+. Di conseguenza, tornando al limite, abbiamo lim x→0+ (1 +x)1/2−ex/2 ln(1 +xα) =−1 4 lim x→0+ x2−α =    0−, se α< 2, − 1 4, se α = 2, −∞, se α> 2. 2. Studiare la funzione f(x) = x− 2 ex 1 + ex . Riportare in tabella i risultati e il grafico. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio. Dominio di f: D(f) = R. La funzione non presenta simmetrie evidenti. Segno di f: f(x)< 0 per ogni x∈ R. Limiti agli estremi: lim x→+∞ f(x) =−2 , lim x→−∞ f(x) =−∞ Eventuali asintoti: y =−2 asintoto orizzontale per x→ +∞ , y =x asintoto obliquo per x→−∞ . Il grafico incontra gli asintoti nel punto ( −2,−2) . In particolare, f(x)≤x se e solo se x≥− 2 , ossia il grafico sta sotto l’asintoto obliquo per x> −2 e sta sopra per x< −2 . Derivata prima: f′(x) = 1− (1 +x)ex (1 + ex)2 . Segno di f′: f′(x)≥ 0 se e solo se 1 − (1 +x)ex≥ 0 , ossia se e solo se e −x≥ 1 +x ossia se e solo se e−x≥ 1 +x , ossia se e solo se x≤ 0 , in virt` u del…