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Politecnico di Milano, Scuola di Ingegneria Industriale e d ell’Informazione Analisi e Geometria 1 - primo Appello - 16 Febbraio 2016 Terza parte (Compito A) Verificare che l’equazione z3 − (1 − 2i) z2 − [ 2 + i ( 2 + √ 3 )] z + ( 2 + i √ 3 ) = 0 con z ∈ C, ammette una radice reale di modulo unitario e trovare le altre radici. Detto T l’insieme delle soluzioni, disegnarlo sul piano di Gauss (esplicitando per o gni soluzioen la parte reale e la parte immaginaria). Soluzioni Le radici reali con modulo unitario possono essere 1 e − 1. Sostituendo z = 1 si ottiene 0 = 0 ed e’ quindi la soluzione cercata: z1 = 1. L’equazione si puo’ quindi scomporre come segue: (z − 1) [ z2 + 2iz − ( 2 + i √ 3 )] = 0 Le altre soluzioni si ottengono come segue: [ z2 + 2iz − ( 2 + i √ 3 )] = 0 ⇒ z = − i + √ 1 + i √ 3 Devo svuluppare per poterle disegnare nel piano di Gauss. La radic e vale (considerando che il radi- cando ha modulo 2 e fase π 3 ): √ 1 + i √ 3 = ± 1√ 2 (√ 3 + i ) Quindi le altre due soluzioni sono: z2 = − i + 1√ 2 (√ 3 + i ) = √ 3 2 + i ( 1√ 2 − 1 ) z3 = − i − 1√ 2 (√ 3 + i ) = − √ 3 2 + i ( − 1√ 2 − 1 ) A questo punto e’ immediato disegnare i 3 punti sul piano di Gauss. Sia f la funzione definita nel modo seguente: f : (−∞ , − 1) ∪ (− 1, +∞ ) − → R, f (x) = x x + 1 e− x per ogni x nel dominio di f . a. Trovare i limiti di f (x) per x → −∞ , x → − 1− , x → − 1+, x → +∞ . b. Calcolare la derivata f ′. c. Trovare gli eventuali punti di minimo o massimo locale. d. Disegnare il grafico di f . e. Stabilire se ` e convergente l’integrale ∫ +∞ 0 f (x) dx Soluzioni (a) lim x→−∞ f (x) = + ∞ lim x→− 1− f (x) = + ∞ lim x→− 1+ f (x) = −∞ lim x→ +∞ f (x) = 0 (b) f ′(x) = − x2 − x + 1 (x + 1)2 e− x (c) x0 = − 1 2 − √ 5 2 : Punto di minimo locale. x1 = − 1 2 + √ 5 2 : Punto di massimo locale.…