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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Analisi e geometria 2 Docente: 16-07-2012 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia f : R3→ R3 l’applicazione lineare la cui matrice rappresentativa, rispetto alla base canonica, ` e: A =   1 2 0 2 4 0 2 −1 5  . (a) Determinare dimensione e una base ortonormale dell’immagine Im f . (b) Determinare dimensione e una base ortonormale del nucleo Ker f . (c) Determinare autovalori e autovettori di A . (d) Stabilire se A ` e diagonalizzabile. Soluzione. (a) dim Imf = rkA = 2 . Imf =L     1 2 2  ,   0 0 5     =L     1 2 0  ,   0 0 1     . Una base ortonormale dell’immagine Imf ` eB =     1/ √ 5 2/ √ 5 0  ,   0 0 1     . (b) dim kerf = dim domf− dim Imf = 1 kerf =L     2 −1 −1     . Una base ortonormale del nucleo kerf ` eB′ =     2/ √ 6 −1/ √ 6 −1/ √ 6     . (c) Autovalori: det(A−λI) = det   1−λ 2 0 2 4 −λ 0 2 −1 5 −λ   =−λ(λ− 5)2 . Autospazio V0 = kerf =L     2 −1 −1     . Autospazio V5 =Sol (2x−y = 0) =L     1 2 0  ,   0 0 1     (d) Poich´ eR3 ammette una base di autovettori di f , la matrice A ` e diagonalizzabile. 2. Trovare i punti di massimo e minimo relativi e assoluti della funzione f(x,y ) =e−xy sull’insieme D ={(x,y ) : 9x2 + 4y2≤ 1}. Soluzione. La funzione g(t) =e−t ` e monotona decrescente, quindi i punti di massimo dif(x,y ) =e−xy sono esattamente i punti di minimo di F (x,y ) =xy e i punti di minimo di f sono esattamente i punti di massimo F . Ricerchiamo allora gli…