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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es.4 Totale Analisi e Geometria 2 Docente: 16 luglio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. Si consideri l’applicazione lineare f : R3→ R3 dipendente dal parametro k definita da f(x,y,z ) = (kx +z,ky,x +kz). (a) Al variare di k∈ R , determinare la dimensione ed una base del nucleo e dell’immagine di f . (b) Al variare di k∈ R , determinare una base ortonormale di R3 formata da autovettori di f . Soluzione. (a) Sia A =   k 0 1 0 k 0 1 0 k   ; det A =k(k2− 1) . Se k̸= 0, 1,−1 r(A) = 3 = dim(im(f)) (una base ` e la base canonica di R3 ) e dim(ker(f)) = 0 . Se k = 0 , r(A) = 2 = dim(im(f)) ; base dell’immagine {   0 0 1  ,   1 0 0  } ; base del nucleo {   0 1 0  } . Se k = 1 , r(A) = 2 = dim(im(f)) ; base dell’immagine {   1 0 1  ,   0 1 0  } ; base del nucleo {   −1 0 1  } . Se k =−1 , r(A) = 2 = dim(im(f)) ; base dell’immagine {   −1 0 1  ,   0 1 0  } ; base del nucleo {   1 0 1  } . (b) A ` e simmetrica, quindi ortogonalmente diagonalizzabile. Gli autovalori sono λ1,2,3 = k− 1,k,k + 1 , con autospazi rispettivamente generati dai vettori: v1 =   1 0 −1   v2 =   0 1 0   v3 =   1 0 1  . Una base ortonormale di autovettori ` e dunque: { 1√ 2   1 0 −1  ,   0 1 0  , 1√ 2   1 0 1  }. 2. Dato il sistema di equazioni differenziali { x′ = 2x + 4y y′ =−2x− 4y (a) scrivere la soluzione generale; (b) determinare il limite per t→ +∞ della soluzione che soddisfa il problema di Cauchy { x(0) = 2 y(0) = 0.…