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Metodi Analitici e Numerici per l’Ingegneria CdL Ingegneria Meccanica II Prova in Itinere 17 gennaio 2018 Prof. M.C. Cerutti Prof. L. Ded` e Firma leggibile dello studente Cognome: Nome: Matricola: ISTRUZIONI • Riportare le risposte nello spazio indicato. • Alcuni esercizi richiedono di utilizzare MATLAB; per tali esercizi riportare sul foglio esclusivamente gli output richiesti. • Utilizzare esclusivamente una penna nera o blu. • Temp o a disp osizione: 1h 15m. SPAZIO RISERVATO AL DOCENTE Esercizio 1 Esercizio 2 Totale Versione n. 1 – Soluzioni –P a g .1 Esercizi 10 punti Esercizio 1. Si consideri il problema di Cauchy:8 < : y00(t)= f (t,y(t),y0(t)) t 2 (0, + 1 ), y0(0) = w0, (1) y(0) = y0, con f (t,y,y0):( 0 , + 1 ) ⇥ R ⇥ R ! R, y0 2 R e w0 2 R. (a) (2 punti) Si pongano f (t,y,y0)= 3 y0 2 y +H(t 4), y0 =4e w0 =0n e lp r o b l e m a( 1 ) ,d o v eH(t) ` e la funzione Heaviside, ovveroH(t)= ⇢ 1 t 0 0 t< 0 . Si trasformi secondo Laplace il problema di Cauchy (1) con i dati precedenti e, indicata con Y (s)= L[y(t)](s)l at r a s f o r m a t ad e l l as o l u z i o n e y(t), si ricavi e si riporti l’espressione di Y (s); si motivino i passaggi svolti. Y (s)= 4( s +3 )/(s2 +3 s +2 )+ e 4 s/(s3 +3 s2 +2 s),s > 0 (b) (2 punti) Si ricavi e si riporti l’espressione della soluzione y(t)d e lp r o b l e m ad iC a u c h yd ic u ia l punto (a) tramite l’antitrasformata di Laplace, ovvero a partire da Y (s)c o m ey(t)= L 1[Y (s)](t). y(t)= 8 e t 4 e 2 t +[ 1/2 e (t 4) +1 /2 e 2( t 4)] H(t 4),t 0 Versione n. 1 – Soluzioni –P a g .2 (c) (2 punti) Si riporti l’algoritmo (non in stretto linguaggio Matlab r )d e lm e t o d od iL e a pF r o gp e r l’approssimazione del problema di Cauchy generale (1); si definisca tutta la notazione utilizzata. (d) (4 punti) Si pongano ora f (t,y,y0)= 3 y0…