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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e Geometria – A.A. 2021-2022 Parte B – Docente: 17 gennaio 2022 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, nello spazio disponibile sotto il testo dell’esercizio. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizio 1.Date le retteresdi equazioni cartesiane rispettivamente x+y+2z 4=2x y+z 5=0 e x 2=y z 1=0, determinareP2reQ2stali che la distanza traPeQsia uguale alla distanza trares(cio` e al minimo della distanza tra un punto direu np u n t od is). Esercizio 2.Si consideri la matriceAk= 2 4 4 3 3 34 3 3 k 4 3 5.S i d e t e r m i n i l ’ u n i c okper cuiAk` e ortogonalmente diagonalizzabile. Per taleksi determini una base ortonormale diR3formata da autovettori diAk, e si scrivano le matrici delle proiezioni ortogonali diR3sugli autospazi diAk. Esercizio 3.Sia data la matrice reale A= 2 4 3ab 051 005 3 5. a)Determinare una base di ciascun autospazio diAe mostrare cheAnon ` e diagonalizzabile. b)Siab2un autovettore (in particolare,b2non ` e nullo) relativo all’autovalore doppio 2diA. Determinare un vettoreb3tale (A 2I)b3=b2. c)Siab1un autovettore (in particolare,b1non ` e nullo) relativo all’autovalore semplice 1diA. Mostrare che {b1,b2,b3}` e una base diR3, e scrivere la matrice che rappresenta l’applicazione lineareLA(v)=Avrispetto a tale base. ~1d i1~
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