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17 Gennaio 2020 — Esercizi Esercizio 1 La quantit` a d’acqua (misurata in ettolitri) consumata in una settimana in un dato edificio ` e modellata da una variabile aleatoria X assolutamente continua con densit` a fX(x) = { 0 x< 0 0.1e−0.1x x≥ 0, 1.1 Determinare la richiesta media di ettolitri d’acqua in una settimana. Soluzione: E[X] = 1/0.1 = 10. 1.2 Assumendo che l’edificio si approvvigioni da una cisterna riempita con 5 ettolitri d’acqua all’inizio della settimana, determinare la probabilit` a che alla fine della settimana nella cisterna rimanga almeno 1/4 dell’acqua che vi era contenuta all’inizio. Soluzione: La probabilit` a cercata ` e P{50−X≥ 5/4} =P{X≤ 3/4· 5} = 1−e−0.1·3/4·5∼ 0.312 1.3 Si supponga che 100 abitazioni abbiano tutte il fabbisogno distribuito comeX e che siano indipendenti. Approssimare la probabilit` a che l’acqua consumata in una settimana dalle 100 abitazioni ecceda i 1010 ettolitri. Soluzione: P { 100∑ i=1 Xi≥ 1010 } =P { 1√ 100∗ 100 100∑ i=1 (Xi− 10)≥ (1010− 10∗ 100)/ √ 100∗ 102 } Quindi P { 100∑ i=1 Xi≥ 1010 } ∼P{Z≥ 1/10}≡ 0.46 con Z normale standard. Esercizio 2 Da un’urna contenente tre palline numerate da 1 a 3 vengono effettuate due estrazioni in successione e senza rimpiazzo. Sia X il numero della prima pallina estratta ed Y il pi` u grande dei due numeri estratti. 1. Completare la tabella di probabilit` a di (X,Y ) Y = 2 Y = 3 pY (yj) X = 1 X = 2 X = 3 pX(xi) Soluzione: Y = 2 Y = 3 pY (yj) X = 1 1/6 1/6 X = 2 1/6 1/6 X = 3 0 1/3 pX(xi) 2. Calcolare P{Y = 3|X = 2}. Soluzione: Si ha P{Y = 3|X = 2} = P{X = 2,Y = 3} P{X = 2} = 1 6/(1 3) = 1 2 3. Calcolare la covarianza di ( X,Y ). Le variabili X e Y sono indipendenti? Soluzione: Si ha E[X] = 2, E [Y ] = 8/3 E[XY ] = 33/6 Cov(X,Y ) =E[XY ]−E[X]E[Y ] = 1/6 No. Esercizio 3 A seguito delle vacanze…