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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale T eoria Analisi e Geometria 1 Docente: Politecnico di Milano Primo Appello Ingegneria Industriale 17 febbraio 2014 Compito A Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 11 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Trovare tutte le soluzioni complesse dell’equazione (z ¯z )2 − (¯z z )2 = 0 e rappresentarle sul piano di Gauss. Soluzione Primo modo. In forma trigonometrica, sia z =ρ(cosθ +i sinθ); si ha che ¯z =ρ(cos(−θ) +i sin(−θ)), z ¯z = cos 2θ +i sin 2θ, ¯z z = cos(−2θ) +i sin(−2θ), (z ¯z )2 = cos 4θ +i sin 4θ, (¯z z )2 = cos(−4θ) +i sin(−4θ). Poich´ e due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno lo stesso modulo e argomenti che differiscono per multipli di 2π, dovr` a essere: 4θ =−4θ + 2kπ, da cui θ =kπ 4 , con k∈ Z. Osserviamo che l’equazione perde di significato se z = 0. Le soluzioni dell’equazione sono rappresentate geometricamente dai punti degli assi cartesiani e delle bisettrici, origine esclusa. Secondo modo. Posto w = z ¯z , l’equazione di partenza diventa w2− 1 w2 = 0 ossia w4 = 1 , con w̸= 0 (ossia z̸= 0 ). Questa equazione ha soluzioni w =±1,±i . Pertanto, posto z =x + iy con x,y∈ R , si ha z =x− iy e quindi si hanno i seguenti casi w = 1 ⇐⇒ z =z ⇐⇒ x + iy =x− iy ⇐⇒ y = 0 w =−1 ⇐⇒ z =−z ⇐⇒ x + iy =−x + iy ⇐⇒ x = 0 w = i ⇐⇒ z = iz ⇐⇒ x + iy = ix + y ⇐⇒ y =x w =−i ⇐⇒ z =−iz ⇐⇒ x + iy =−ix− y ⇐⇒ y =−x. Poich´ ez̸= 0 , le soluzioni dell’equazione sono rappresentate geometricamente dai punti degli assi carte- siani e delle bisettrici, origine esclusa. 2. (a) Trovare la soluzione generale…
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