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1 17 Luglio 2003 – recupero prima prova Esercizio 1 1.1 u ( t ) y ( t ) = 2 11 (1 1 ) (6 )3 11 1 10 291 36 s sss s ss ss +− −+ ++ =+ ++−− ++ 22 () ( 1 1 ) ( 6 ) 3 1 1 3 1 1() ( ) 10 29 ( 11)( 6) 2 10 29 2 Ys s s s sGs Us s s s s s s s s −+ + − −== − + = +  ++ + + ++ . I poli di G(s) sono -5±j2 e 0, quindi il sistema non è asintoticamente stabile. 1.2 22 2 2 3 11 3 11 5 8 11() ()1 10 29 2 ( 5) 4 2 ( 5) 4 ( 5) 4 2 ss sYs Gs ss s s s s s s −− += ⋅ = + =+ =−+ + + ++ ++ ++ ; perciò, antitrasformando secondo Laplace, si ottiene 55 1() c o s ( 2) 4 s i n ( 2) () 2 ttyt te te s c at −−=−+ . Esercizio 2 Si può usare il criterio di Routh: visto che () abbssaabsas ssG ++++ −= 234 || 3 , si ha 2 22 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 aa a a b bb ab ab a abaa a bbb ab ba a b b a aa a ab − −−= − − = −− − + −−= −− 3 11 + +− s s 6 1 ++ s s 1 2 1 )6)(11( 3 ++ − ss s + + _ 2 I coefficienti della prima colonna devono essere non nulli e dello stesso segno: pertanto, si deduce che 0 0 a b > > (perché altrimenti ab non potrebbe essere concorde con a e b contemporaneamente) 2 10 (1 ) 0 a bb a −> −+ −> ossia 1 0 1 a b ab  >  >  −> b 0 1 a -1 Esercizio 3 Applicando le proprietà della trasformata di Laplace (ipotesi: le condizioni iniziali siano nulle): 11 21 3 32 12 1 23 2 3 12 1 2 22 2 2 3 2 32 2 42 3 2 3 2 23 42 3 2 3 24 4226 ( 2 ) 32 83( 3 ) ( 8 ) 42 21 8 ( 2 ) 3( 3 ) ( 8 ) sX X U sX X X sX X U YXX UX s UsX X s XUX s YXX UX s XUUs sssX X U Uss s s s s XUX s UsY ss s =+  =− + =−  =− +  = −  =− + −  −=  =− + = − −−− −−=− + ⇒ = =−−− − − −= −=− − −− − 22 22 89 ( 2 ) 9 2 622(3 ) ( 8 ) (3 ) ( 8 ) ss s sUU U ss ss           −+ − + − =− =− −− −− 3 2 2 () 9 2 6() 2 () ( 3 ) ( 8 ) Ys s sGs Us s s +−== − −− Il sistema non è asintoticamente stabile, anzi è…