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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 Totale Analisi e geometria 2 Primo Appello Docente: 17 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: •Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogliv nello spazio sotto il testo ev in caso di necessit` av sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. lg aabScrivere la definizione di autovettore di una matrice quadratag abbSia{e1,e2,e3}la base canonica diR3g SiaTuR3−→R3l’applicazione lineare tale che Tae1b = ne1de3,Tae2b=e2,Tae3b=e1dne3. igTrovare la matriceAche rappresentaTrispetto alla base canonicag iigEsistono basi diR3costituite da autovettori diAa due a due ortogonali tra loro? Se esistonoe se ne trovi unag aNon si richiede che gli autovettori scelti siano di lunghezza lbg iiigTrovaree se esistee una matrice ortogonalePtale cheP−1APsia diagonaleg ivgScrivere una matrice diagonalee se esistee che sia simile alla matrice Ag vgLa matriceA4ha una base ortonormale di autovettori? Perch´ e? Soluzione. aib A= ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ nil ili lin ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ aiibPer trovare gli autovalori di A risolviamo det aA−λIb = det ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ n−λ il il −λ i l i n −λ ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ = al−λb[an−λb2−l] = i ottenendoλ1= leλ2= m eλ3= og La matrice ` e simmetrica quindi ammette una base ortogonale di autovettorig Autovettori relativi aλ1eλ2eλ3sono i vettoriv1= ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ i l i ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ ev2= ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ l i −l ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ ev3= ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ l i l ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ che sono chiaramente a due a due ortogonalig aiiibLa matriceS` e la matrice formata dagli autovettori S= ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ i l l l i i i−ll ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ aivbLa matrice diagonale simile alla matriceA` e la matrice Λ= ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ lii imi iio ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ avbLa matriceA4ha come autovalori gli autovalori diAelevati al quarta con gli stessi autovettorig Quindi ancheA4ha una base ortonormale di autovettorie la stessa diAg mgDato il campo vettoriale Fax, y,…