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ESAME DI ANALISI 1 E GEOMETRIA - 18 FEBBRAIO 2013 - A DOCENTI: M.BOELLA, D.MONTICELLI, R.NOTARI, C.PERELLI CIPPO Parte A Esercizio 1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat sui massimi e minimi loca li di funzioni derivabili. Svolgimento. Vedi libro di teoria. Esercizio 2. Studiare l’ integrabilit` a sul dominio [1 , +∞ ) delle funzioni fp(x) = 1 /x p, al variare del parametro reale p. Enunciare poi una condizione sufficiente per l’ integrabilit` a di una funzione f (x) continua e positiva sullo stesso dominio. Svolgimento. Vedi libro di teoria. Esercizio 3. Dare la definizione di estremo inferiore e di estremo superiore per u n sot- toinsieme A non vuoto di R. Calcolare poi tali numeri per l’ insieme A = {an | n ∈ N}, con an = { 1 − 1 n se n pari 1 n se n dispari . Svolgimento. Per le definizioni si veda il libro di teoria. Si osservi che 0 ≤ an ≤ 1. Infatti, se n ` e pari, la disuguaglianza diventa 0 ≤ 1 − 1 n ≤ 1, equivalente a 0 ≤ 1 n ≤ 1. Se n ` e dispari, abbiamo ancora 0 ≤ 1 n ≤ 1. Quindi dobbiamo risolvere le disuguaglianze 0 ≤ 1 n ≤ 1 con n ∈ N. Quella di sinistra ` e banalmente vera perch´ en ∈ N, e quindi n > 0. La seconda, vista la positivit` a di n, equivale a n ≥ 1, ancora verificata visto che n ∈ N. Osserviamo ancora che a1 = 1 , e quindi 1 = max( A), essendo an ≤ 1. Di conseguenza, 1 = sup( A). `E anche molto facile verificare che an ̸= 0 per n ∈ N, e quindi 0 ̸= min( A). Per` o, scelto ε > 0, abbiamo che 1 n < ε per n > 1/ε, e quindi esiste sicuramente un numero dispari n′ che verifica 0 < a n′ < ε, ossia 0 = inf( A). Parte B Esercizio 1. Determinare il carattere della serie numerica +∞∑ n=1 (− 1)n n2 n4 + 1 . Dire poi quanti termini sommare per avere un errore sulla somma inf eriore a 10 − 2. Svolgimento. Sia an = n2 n4+1, con n ∈ N. `E chiaro che il…
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