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Analisi e Geometria 1 Primo appello, 18 febbraio 2013 Punteggi degli esercizi : Es.1: 9 punti; Es.2: 6 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 9 punti. 1. (a) Scrivere la de nizione di: g(x) = o(h(x)), per x ! a. (b) Sia f una funzione derivabile n volte in un intorno di un punto x0 2 R. Scrivere la formula di Taylor di ordine n di f , con il centro in x0 e il resto nella forma di Peano. (c) Calcolando le opportune derivate, trovare lo sviluppo di Taylor di f (x) = tan x, con centro in x0 = 0, arrestato al terzo ordine, con il resto di Peano. (d) Calcolare il limite lim x→0 ex 1 + ln(1 x) tan x x Soluzione. (d) Utilizziamo gli sviluppi: ex = 1 + x + x2 2! + x3 3! + o(x3) ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 + o(x3) (1) da cui ricaviamo e−x = 1 x + x2 2! x3 3! + o(x3) ln(1 x) = x x2 2 x3 3 + o(x3) (2) e tan x = x + x3 3 + o(x3) arctan x = x x3 3 + o(x3) Allora: V ersione A lim x→0 ex 1 + ln(1 x) tan x x = lim x→0 x + x2 2! + x3 3! + o(x3) x x2 2 x3 3 + o(x3) x3 3 + o(x3) = x3 6 + o(x3) x3 3 + o(x3) = 1 2 V ersione B lim x→0 ex 1 + ln(1 x) arctan x x = lim x→0 x + x2 2! + x3 3! + o(x3) x x2 2 x3 3 + o(x3) x3 3 + o(x3) = x3 6 + o(x3) x3 3 + o(x3) = 1 2 V ersione C lim x→0 e−x 1 + ln(1 + x) tan x x = lim x→0 x + x2 2! x3 3! + o(x3) + x x2 2 + x3 3 + o(x3) x3 3 + o(x3) = x3 6 + o(x3) x3 3 + o(x3) = 1 2 V ersione D lim x→0 e−x 1 + ln(1 + x) arctan x x = lim x→0 x + x2 2! x3 3! + o(x3) + x x2 2 + x3 3 + o(x3) x3 3 + o(x3) = x3 6 + o(x3) x3 3 + o(x3) = 1 2 2. (a) Trovare la soluzione f = f (t) del problema di Cauchy: { x′(t) = 4 t3 x(t) x(1) = 1 (b) Trovare il valore minimo e il valore massimo di f sull'intervallo [1; 3]. Soluzione. V ersione A (a) L'equazione x′(t) = 4 t3 x(t)  e a variabili separabili, e anche lineare omogenea del primo ordine. Risolviamola come equazione a variabili separabili.…