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Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria I appello 18 Febbraio 2015 DOMANDA 1 Si consideri il seguente problema:    u′′(x) u′(x) = x; 0 < x < 1 u′(0) = 1 u(1) = 1 : 1. (T) Si ricavi la formulazione debole del problema giustificando i passaggi e motivando la scelta degli spazi funzionali. 2. (T) Si dimostri che la forma bilineare ottenuta al punto precedente ` e continua e coerciva. 3. (T) Si enunci il lemma (o teorema) di Lax-Milgram. 4. (E) Si disegnino le funzioni di base dello spazio di elementi finiti lineari definiti su una par- tizione unifome dell’intervallo [0; 1] di passo h = 1=4, che approssimano lo spazio funzionale scelto per la formulazione debole. 5. (E) Si scriva il sistema lineare corrispondente all’approssimazione ad elementi finiti. 6. (M) Si implementi in MATLAB il sistema, lo si risolva e si disegni il grafico della soluzione. DOMANDA 2 Si consideri la funzione f : [ 1; 2] ! R definita da f (x) = e3x e l’integrale ∫ 2 −1 f (x) dx : 1. (T) Si definisca l’ordine di convergenza e il grado di esattezza di un metodo di approssi- mazione di integrali. 2. (T) Si scriva la formula del punto medio per il calcolo dell’integrale e si ricavi il grado di esattezza del metodo. 3. (T) Si ricavi la formula di quadratura del punto medio composita con nodi equispaziati e si precisi qual ` e l’ordine di convergenza. 4. (E) Si calcoli analiticamente l’integrale. 5. (M) Si programmi in Matlab l’algoritmo del punto medio suddividendo l’intervallo in N parti uguali. 6. (M) Si calcoli numericamente l’integrale e l’errore per N = 8; 16; 32; 64. 7. (M) Si deduca l’ordine di convergenza del metodo, e lo si confronti con il risultato teorico. DOMANDA 3 Si consideri il problema di Cauchy: { y′′(t) y′(t) 2y(t) = et; t > 0 y(0) = y′(0) = 0 : 1. (E) Sia Y (s) la trasformata di…