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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca Appello 5 - 18 febbraio 2016 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 8994 Esercizio 1 Allo scritto si presenta un numero di studenti casuale governato da una variabile di Poisson di valore atteso 200. 1. Supponendo che l’aula abbia una capienza pari a 205 studenti, calcolare la probabilit` a che la capienza non venga superata. 2. Il docente ha bisogno di un assistente se il numero di studenti ` e superiore a 195. Calcolare la probabilit` a che il docente necessiti di assistenza dato che la capienza dell’aula non ` e stata superata. 3. Supponiamo che le quantit` a di studenti che si presentano in 100 appelli consecutivi siano indipendenti e tutte con la distribuzione di Poisson utilizzata finora. In quanti appelli, mediamente, si supera la capienza dell’aula? 4. Nelle stesse ipotesi del punto precedente, qual ` e la legge del numero di appelli in cui si supera la capienza dell’aula? 5. Nelle stesse ipotesi del punto 3, qual ` e la probabilit` a che in almeno 36 appelli si superi la capienza dell’aula? 1 Soluzione. Dai dati, essendo il valore atteso di una Poisson pari al parametro, si ha che la legge di Poisson ha parametro 200. 1. Sia X il numero di studenti, essendo il parametro della Poisson superiore a 5 si pu` o applicare l’approssimazione gaussiana. Pertanto P(X≤ 205) = P(X≤ 205.5) = P (X− 200√ 200 ≤ 205− 200√ 200 ) ≈ Φ (205.5− 200√ 200 ) = Φ(0.3889087297) = 0.6513281679 2. Dobbiamo calcolare P(X >195|X≤ 205) = P(X >194.5|X <205.5) = P(194.5<X < 205.5)/P(X < 205.5). Utilizzando l’approssimazione gaussiana si pu` o approssimare con Φ ( (205.5− 200)/ √ 200 ) − Φ ( (194.5− 200)/ √ 200 ) Φ ( (205.5− 200)/ √ 200 ) = 1− Φ(−0.3889087297)…