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Analisi Matematica 2 & Alg. Lin. – ITEA – prof. Citrini 2° appello – 18 luglio 2017 Prova2Edi_An2_2017_sol.docx 1/4 18/07/2017 COGNOME …………………… Nome ……………… Matr. ………… Firma …………………… Esercizio 1 a b c 2 d e f 3 g h i 4 j k l Totale Punteggio 4 3 3 3 2 1 5 2 1 5 3 [+3] 32 [+3] Voto Tempo a disposizione: 2 h 30’. Consegnare solo questi fogli. Per ogni esercizio, indicare la risposta nell’appos ito spazio e giustificarla per sommi capi. Scrivere eventualmente qualche passaggio sul retro. Non è ammesso l’uso di libri, appunti e dispositivi elettronici. 1. Dati la matrice A = −1 1 1 1 + 1 −3 2 e il vettore b = 0 , a) Studiare il rango di A al variare del parametro reale a, determinandone, quando possibile, le combinazioni lineari che si annullano, sia delle righe che delle colonne. Che cosa rappresentano i coefficienti di tali combinazioni? Risulta det(A) = + − 2 , nullo per a = –2 e a = 1. Per a diverso da tali valori il rango è 3, e le uniche c ombinazioni lineari che si annullano tra righe o colonne hanno coefficienti nulli; invece per i due valori a = –2 e a = 1 il rango è 2. Si ha infatti: ♦ a = –2: A = −2 −1 1 1 −2 1 −1 −3 2 . Tutti i minori di ordine 2 sono diversi da 0, qui ndi due righe/colonne qualsiasi sono linearmente dipendenti. Per trovare la relazione tra le colonne occorre risolvere il sistema A x = 0, ottenendo x = t [1, 3, 5] T . Si ha dunque la relazione I + 3 II + 5 III = 0; il vettore [1, 3, 5] T è la base del nucleo di A. Per trovare la relazione tra le righe (che si può i ntuire facilmente) occorre risolvere il sistema xT A = 0, ottenendo x = t [1, 1, –1]; il vettore [1, 1, –1] T è la base del nucleo di A T, essendo il sistema equivalente a A Tx = 0, e la relazione tra le righe che esprime è I + II – III = 0T. ♦ a = 1: A = 1 −1 1…
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